Exercise:
Für ein Spiel auf einer Party mit dem Thema glqq Spidermangrqq wird aus Holzleisten ein grosses radialsymmetrisches Spinnennetz .kilogrammetersquared hergestellt. Die acht Speichen haben eine Länge von cm die parallelen Querstäbe dazwischen sind so montiert dass sie die Speichen in drei gleich lange Abschnitte teilen siehe Skizze unten. Beim Spiel soll versucht werden mit einer kleben Stoffspinne g aus .m Entfernung das Zentrum des sich drehen Netzes zu treffen. center tikzpicturelatex pgftransformrotate. %drawultra thick ---.; defrus %radius defthi. %thickness deftole. %length tolerance deftolz. %length tolerance deftold. %length tolerance defCOLorred!!black %speichen foreach angul in ..... . .. pgftransformrotateangul; filldrawcolorCOLor fillCOLor -. rectangle .rus+.; foreach angul in pgftransformrotateangul; filldrawcolorCOLor fillCOLor -rus/+tole rus/-thi rectangle rus/-tolerus/+thi; filldrawcolorCOLor fillCOLor -rus/+tolz*rus/-thi rectangle rus/-tolz*rus/+thi; filldrawcolorCOLor fillCOLor -rus/+told rus-thi rectangle rus/-toldrus+thi; filldrawultra thick colorblack fillwhite circle .; pgftransformrotat. nodecolorgreen!!black at .. overlinemathcalRmathcalScm; drawlatex thick- ++:. arc::.; draw- colorgreen!!black .-.--.-.; drawdashed colorgreen!!black -.--.-.; nodecolorgreen!!black at .-. cm; %floor draw --.---.; filldraw -. circle .; %T filldraw -. circle .; %P filldraw +. circle .; %Q nodecolorgreen!!black at -.-. mathcalT; nodecolorgreen!!black at -. mathcalR; nodecolorgreen!!black at +. mathcalS; tikzpicture center abcliste abc Der Spielleiter fasst eine Ecke mathcalR des Netzes an und übt währ ang ein konstantes Drehmoment auf das Spinnennetz aus siehe schwarzer Pfeil links welches unmittelbar danach für eine ganze Umdrehung genau vier Sekunden braucht. Welche Kraft hat der Spielleiter im Mittel aufgebracht? abc Ein Teilnehmer wirft die Spinne horizontal aus einer Höhe von .m in Richtung Netz und trifft mit ihr eine Ecke mathcalT -- genau dann wenn diese den tiefsten Punkt cm über dem Boden durchläuft. Unter welchem Winkel zur Horizontalen trifft die Spinne auf das Netz? abc Berechne die Umlaufzeit des Netzes unmittelbar nach dem Aufprall der Spinne. abc Berechne die Masse einer einzelnen Speiche der Länge cm. Behandle dabei alle Holzleisten idealisiert als lange dünne Stäbe. Hinweis: Aufwändige Teilaufgabe! abc Beim Auftreffen der Spinne auf das Netz übt sie auf die Rotationsachse der Konstruktion ein Drehmoment aus welches zu einer Präzession der Rotationsachse führt. Gib die Richtung dieser Präzession mit einer Skizze unmissverständlich an. abcliste

Solution:
enumerate itema Die aufzuwe Kraft beträgt: F fracMr fracJalphar fracJ fracomega^gammar fracJomega^gamma r fracJ leftfracpiTright^gamma r fracpi^ Jgamma T^ r fracpi^ Jgamma T^ r fracpi^ .kilogrammetersquared.rad s^ .m .N itemb Die Flugdauer der kleben Spinne beträgt: t sqrtfracs_yg sqrtfrac .m.meterpersecondsquared .s Wenn der werfe Teilnehmer anfänglich .m vom Netz entfernt steht so muss die horizontale Abwurfgeschwindigkeit v_x fracs_xt frac.m.s .meterpersecond betragen. Da die Spinne im Moment des Auftreffens eine vertikale Geschwindigkeit von v_y gt .meterpersecondsquared .s .meterpersecond hat ist der Geschwindigkeitswinkel bezüglich der Horizontalen und somit auch bezüglich Normalen auf der Ebene des Spinnennetzes: beta arctanleftfracv_yv_xright arctanleftfracgtfracs_xsqrtfracs_ygright arctanleftfracsqrts_yg ts_xright arctanleftfrac.meterpersecond.meterpersecondright ang. itemc Da der Drehimpuls LJomega des Netzes beim beschriebenen Vorgang erhalten bleibt beträgt die Winkelgeschwindigkeit nach dem Auftreffen der Spinne: T_ fracJ_J_ T_ fracJ_+tilde mr^J_ T_ frac.kilogrammetersquared +.kg .m^ .kilogrammetersquared s .s itemd Das Träg-heits-mo-ment des gesamten Netzes besteht aus acht identischen Teilen welche jeweils aus vier Stäben als lange dünne Stäbe zu betrachten bestehen. Das Träg-heits-mo-ment eines solchen Stabes ist jeweils fracmell^ was jedoch bezüglich einer Achse rechtwinklig zum Stab und durch seinen Mittelpunkt gilt. Unsere Stäbe müssen also alle vier mit dem Satz von Steiner angepasst werden das heisst jeder Stab hat zusätzlich einen Term +md^ wobei mit d der Abstand von Mittelpunkt des Spinnennetzes zum Mittelpunkt des jeweiligen Stabes geme ist. Insgesamt erhält man für so einen Achtel des Spinnenetzes: fracJ J' J_s + J_+J_+J_ J'_s + m_sd_S^ + J'_ + m_dr_^ +J'_+ m_r_^ + J'_+ m_d_^ fracm_sell^ + m_sd_s^ + fracm_ell^ + m_d_^ +fracm_ell^ + m_d_^ +fracm_ell^ + m_d_^ m_s leftfracell^ + d_s^right + m_ leftfracell_^ + d_^right + m_ leftfracell_^ + d_^right + m_ leftfracell_^ + d_^right Nun muss man beachten dass man mit einfacher Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck die Längen der Querstäbe ell_ ell_ ell_ alle durch die Länge der Speiche ausdrücken kann ell. Ausserdem sind auch die Abstände mit denselben Überlegungen durch die glqq Hauptlängegrqq auszudrücken: J' m_s leftfracell^ + leftfracellright^right + m_ leftfracleftfrac ellsinalpharight^ + leftfracellcosalpharight^right + m_ leftfracleftfrac ellsinalpharight^ + leftfracellcosalpharight^right + m_ leftfracleftellsinalpharight^ + leftellcosalpharight^right frac m_s ell^ + m_ leftfracell^sin^alpha + fracell^cos^alpha right + m_ leftfracell^sin^alpha + fracell^cos^alpha right+m_ leftfracell^sin^alpha + ell^cos^alpha right frac m_s ell^ + m_ ell^ left frac+frac cos^alpha right + m_ ell^ left frac+fraccos^alpha right+m_ ell^ leftfrac+frac cos^alpha right % m_s fracell^ + rho A ell sinalpha ell^ leftfrac left frac+frac cos^alpha right + frac left frac+fraccos^alpha right+ leftfrac+frac cos^alpha right right Weiter können nun die Massen der Querstäbe m_ m_ m_ durch die Masse des Hauptstabes m_s ausgedrückt werden weil ja alle aus denselben Holzleisten gefertigt sind: J' fracm_s ell^ + rho A ell sinalpha ell^ leftfrac left frac+frac cos^alpha right + frac left frac+fraccos^alpha right+ leftfrac+frac cos^alpha right right frac rho A ell ell^ + rho A ell sinalpha ell^ left frac + fraccos^alpha right leftleft frac + fraccos^alpha right sinalpha + fracright rho A ell ell^ leftleft frac + fraccos^ang. right sinang. + fracright m_s ell^ fracJ . m_s ell^ Ein einzelner Speichenstab hat somit eine Masse von: m_s fracJ . ell^ frac.kilogrammetersquared . .m^ .kg iteme Der Vektor der Drehimpulses zeigt bei einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn aus der Papierebene hinaus; jener des Drehmomentes welches die Spinne beim Auftreffen ausübt zeigt nach rechts sofern die Spinne von vorne auf das Papier trifft; da der Drehimpuls das Drehmoment glqq jagtgrqq vec L jagt vec M ergibt sich eine Drehung welche einem Präzessionsvektor nach oben entspricht. Das Spinnennetz würde also rechts glqq reingrqq und links glqq herausgrqq kommen. enumerate