Starting height for a roller coaster's death spiral
Question
Solution
Short
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The following quantities appear in the problem:
Masse \(m\) / Kraft \(F\) / Energie \(E\) / Geschwindigkeit \(v\) / Ortsfaktor \(g\) / Höhe \(h\) / Radius \(r\) /
The following formulas must be used to solve the exercise:
\(F = mg \quad \) \(E_{\rm \scriptscriptstyle kin} = \dfrac12 mv^2 \quad \) \(E_{\rm \scriptscriptstyle pot} = mgh \quad \) \(F = m\dfrac{v^2}{r} \quad \)
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Exercise:
The circle of a roller coaster's death spiral or loop has a radius of r. At what height above the lowest po must the car start to safely complete the circle without taking friction and initial velocity o account?
Solution:
Skz center tikzpicture drawultra thick circle cm; drawultra thick :--+: coordinate A; filldrawcolorred fillred A circle .cm noderight A; filldrawcolorred fillred circle .cm nodeabove B; filldrawcolorred fillred - circle .cm nodebelow C; drawcolorblue-latex --+: nodemidway above r; drawcolorblue-latex A--A|--; coordinate aux at A|--; coordinate S at A!.!aux; nodecolorblue left at S h; tikzpicture center Falls die auf den Wagen wirke Gewichtskraft im Punkt B gerade die Zentripetalkraft ist so bleibt der Wagen gerade noch in der Kreisbahn ohne herunter zu fallen: fracmsscvB^r &ge mg sscvB &ge sqrtgr sqrt ncg r vb Die Geschwindigkeit im tiefsten Punkt C lässt sich mit dem Energieerhaltungssatz ausrechnen: sscEC sscEB Ekin^C Ekin^B + Epot^B frac msscvC^ frac msscvB^ + mg r sscvC sqrtsscvB^ + gr vc Wenn der Wagen in Punkt C diese Geschwindigkeit hat dann hat er den Kreis sicher durchlaufen. Um nun die Höhe zu finden die der Wagen anfänglich in Punkt A braucht bedienen wir uns wieder des Energiesatzes. E_mathrmA &ge E_mathrmC Epot^A &ge Ekin^C mgh &ge frac msscvC^ h &ge fracsscvC^g &ge . r &ge hTTT
The circle of a roller coaster's death spiral or loop has a radius of r. At what height above the lowest po must the car start to safely complete the circle without taking friction and initial velocity o account?
Solution:
Skz center tikzpicture drawultra thick circle cm; drawultra thick :--+: coordinate A; filldrawcolorred fillred A circle .cm noderight A; filldrawcolorred fillred circle .cm nodeabove B; filldrawcolorred fillred - circle .cm nodebelow C; drawcolorblue-latex --+: nodemidway above r; drawcolorblue-latex A--A|--; coordinate aux at A|--; coordinate S at A!.!aux; nodecolorblue left at S h; tikzpicture center Falls die auf den Wagen wirke Gewichtskraft im Punkt B gerade die Zentripetalkraft ist so bleibt der Wagen gerade noch in der Kreisbahn ohne herunter zu fallen: fracmsscvB^r &ge mg sscvB &ge sqrtgr sqrt ncg r vb Die Geschwindigkeit im tiefsten Punkt C lässt sich mit dem Energieerhaltungssatz ausrechnen: sscEC sscEB Ekin^C Ekin^B + Epot^B frac msscvC^ frac msscvB^ + mg r sscvC sqrtsscvB^ + gr vc Wenn der Wagen in Punkt C diese Geschwindigkeit hat dann hat er den Kreis sicher durchlaufen. Um nun die Höhe zu finden die der Wagen anfänglich in Punkt A braucht bedienen wir uns wieder des Energiesatzes. E_mathrmA &ge E_mathrmC Epot^A &ge Ekin^C mgh &ge frac msscvC^ h &ge fracsscvC^g &ge . r &ge hTTT