Exercise:
Auf einem Wagen der Masse M befinden sich fünf Männer mit jeweils m Masse. In welchem Fall wird die Endgeschwindigkeit des Wagens grösser? Falls a alle Männer gleichzeitig oder b einer nach dem andern mit v_r relativer Geschwindigkeit zum Wagen in der gleichen Richtung rennt und vom Wagen springt?

Solution:
bf . Lösungsweg: Wir betrachten die beiden Fälle a alle gleichzeitig und b nacheinander getrennt und vergleichen dann die Endgeschwindigkeiten v_a bzw. v_b. itemize item Fall a alle gleichzeitig: Dieser Fall ist recht einfach; es gilt einfach Impulserhaltung. Da anfänglich kein Impuls vorhanden ist alles in Ruhe muss am Ende der Impuls der n Männer p_n betragsmässig genau gleich gross sein wie jener des Wagens p: p_n &mustbe p Wenn der Wagen zum Zeitpunkt des Absprungs der Männer die Geschwindigkeit v_a hat so beträgt der Impuls des Wagens selbstred pMv_a. Der Impuls der Männer welche ja auf dem Wagen rennen ist p_nmv_n wobei v_n die Geschwindigkeit der Männer von einem ruhen Beobachter aus gemessen ist. Diese ist v_nv_r-v_a. Also so schnell wie die Männer rennen minus die Geschwindigkeit des Wagens auf welchem sie rennen. Eingesetzt ergibt sich: mv_n Mv_a mv_r-v_a Mv_a mv_r M+mv_a v_a fracmM+m v_r item Fall b nacheinander: Wieder müssen wir den Impulssatz anwen diesmal n-mal. Wir wählen nämlich die Strategie dass wir den Geschwindigkeitszuwachs Delta v_i berechnen um welchen der Wagen schneller wird wenn der i-te Mann abspringt; die Endgeschwindigkeit in diesem Fall ist dann: v_b _i^n Delta v_i Im Schwerpunktsystem des glqq Wagens mit i Männerngrqq gilt: p_i &mustbe p_n-i mv_r-Delta v_i M+n-im Delta v_i mv_r M+n-i+m Delta v_i Delta v_i fracmM+n-i+m v_r Die Geschwindigkeit des Wagens nimmt also wenn die i. Person vom Wagen springt um Delta v_i zu. Insgesamt hat der Wagen am Ende wie oben schon erwähnt folge Endgeschwindigkeit: v_b _i^n Delta v_i _i^n fracmM+n-i+m v_r leftfracmM+m + fracmM+m + dots + fracmM+mright v_r itemize Ein einfacher Vergleich zeigt dass v_bv_a; der Wagen wird also im zweiten Fall wenn die Männer nacheinander von ihm abspringen schneller sein. medskip bf . Lösungsweg: abclist abc Wir bezeichnen qtytextMassetextGeschwindigkeittextImpuls des Wagens und eines Mannes mit qtyMVP respektive qtymvp und verwen den Impulserhaltungssatz. ImpulsSchritte PSchrittImpulse einsetzen PGleichung P + p PGleichung MV + mv PGleichung MV + mqtyV + v_r AlgebraSchritte MGleichung MV + mV + mv_r MGleichungMV+mV -mv_r MGleichungqtyM+mV -mv_r MGleichungV -fracmv_rM+m PHYSMATH Der Grund weshalb wir v V + v_r gesetzt haben liegt darin dass v_r die Geschwindigkeit relativ zum Wagen ist also diejenige aus Sicht der Männer. Von aussen beobachtet muss deshalb die Wagengeschwindigkeit dazu addiert werden. abc Wir müssen nun den Impulssatz mehrmals anwen. Wir berechnen die Geschwindigkeit des Wagens wenn sich noch i Männer auf dem Wagen befinden V_i. ImpulsSchritte PGleichungP_i+ P_i + p PGleichungM+i+mV_i+ M+imV_i + mv_i PGleichungM+i+mV_i+ M+imV_i + mqtyV_i + v_r AlgebraSchritte MGleichungM+i+mV_i+ MV_i+imV_i + mV_i + mv_r MGleichungMV_i+imV_i + mV_i M+i+mV_i+ -mv_r MGleichungqtyM+i+mV_i M+i+mV_i+ -mv_r MGleichungV_i V_i+-fracmv_rM+i+m PHYSMATH Wenn sich noch alle Männer auf dem Wagen befinden ist er noch in Ruhe die Geschwindigkeit ist dann also V_. Daraus können wir die Geschwindigkeit berechnen wenn sich kein Mann mehr auf dem Wagen befindet: al V_ V_ -fracmv_rM+m V_ -fracmv_rM+m -fracmv_rM+m dots -mv_rqtyfracM+m + fracM+m + fracM+m + fracM+m +fracM+m. abclist Wir vergleichen diesen Ausdruck mit dem Ergebnis von a. Letzteres können wir auch als al V -mv_rqtyfracM+m + fracM+m + fracM+m + fracM+m +fracM+m schreiben. Da bei V_ die Nenner der Brüche immer kleiner werden werden die Brüche an sich immer grösser. Deshalb ist |V_| |V| was bedeutet dass der Wagen sich schneller weg bewegt wenn die Männer nacheinander springen.