Wassertopf
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Solution
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The following quantities appear in the problem:
The following formulas must be used to solve the exercise:
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Exercise:
Ein Topf ist bis zur Höhe x_ mit Wasser gefüllt. in welcher Höhe h ist ein Loch zu bohren damit der austrete Wasserstrahl möglichst weit kommt?
Solution:
Die Zeit welche der Wasserstrahl zum Durchfallen der Höhe h benötigt ist t sqrtfrachg. Der hydrostatische Druck in der Höhe x_-h ist p rho g x_-h. Mit der Bernoulli-Gleichung p_ + frac rho v_^ p_ +frac rho v_^ findet man als Ausströmungsgeschwindigkeit: rho g x_-h frac rho v^ v sqrtgx_-h Damit gilt für die Weite des Wasserstrahls s vt sqrtgx_-h sqrtfrachg sqrthx_-h. Diese Weite soll maximal sein; dann muss auch s^ maximal sein was die Sache etwas erleichtert. Das Maximum von hx_-h^ ist dort wo die Ableitung nach h verschwindet also x_-h. Damit ist die Höhe h frac x_.
Ein Topf ist bis zur Höhe x_ mit Wasser gefüllt. in welcher Höhe h ist ein Loch zu bohren damit der austrete Wasserstrahl möglichst weit kommt?
Solution:
Die Zeit welche der Wasserstrahl zum Durchfallen der Höhe h benötigt ist t sqrtfrachg. Der hydrostatische Druck in der Höhe x_-h ist p rho g x_-h. Mit der Bernoulli-Gleichung p_ + frac rho v_^ p_ +frac rho v_^ findet man als Ausströmungsgeschwindigkeit: rho g x_-h frac rho v^ v sqrtgx_-h Damit gilt für die Weite des Wasserstrahls s vt sqrtgx_-h sqrtfrachg sqrthx_-h. Diese Weite soll maximal sein; dann muss auch s^ maximal sein was die Sache etwas erleichtert. Das Maximum von hx_-h^ ist dort wo die Ableitung nach h verschwindet also x_-h. Damit ist die Höhe h frac x_.