Exercise:
Zwei Massen m_ und m_ m_m_ sind an einem Seil welches über eine bewegliche Rolle läuft befestigt. Das Seil gleitet nicht auf der Rolle. Letztere weist einen Durchmesser R und eine homogene Masse M auf. Die Anordnung befindet sich anfänglich in Ruhe. Nach welcher Zeit hat die Masse m_ die Höhe h durchfallen? center tikzpicture % Mass drawthick .cm -- ++-cm nodedrawblackabove.cmcirclefillbrown!!blackcM nodedrawblacktrapeziumrounded cornersptfillbrown!!blacktextwhite minimum height.cmMm_; % Mass drawthick -.cm -- ++-.cm nodedrawblackabove.cmcirclefillbrown!!blackcm nodedrawblacktrapeziumrounded cornersptfillbrown!!blacktextwhite minimum height.cmmm_; % Supporting structure fillpattern north west lines -.. rectangle ..; draw-.. -- ..; % Pulley drawfillgray circle .cm; % Big circle drawfilllightgray circle .cm; % Medium circle drawfillwhite :. torounded corners.cm .-. torounded corners.cm -.-. -- :. -- cycle; drawfilldarkgray circle .cm; % Axle circle tikzpicture center

Solution:
Die beiden Massen erfahren beide betragsmässig dieselbe Beschleunigung da sie ja über ein Seil miteinander verbunden sin. Für diese Beschleunigung gilt jeweils aus der Sicht der jeweiligen Masse: m_ a F_i m_g- FZ_ m_ a F_i FZ_ - m_g Das heisst: Auf die grössere Masse m_ wirkt einerseits die Gewichtskraft und brems die Zugkraft im Seil auf der Seite der zweiten Masse. Auf die leichtere Masse m_ wirkt die Zugkraft im Seil auf ihrer Seite also F_Z sowie die dieser Kraft entgegengesetzte Gewichtskraft dieser Masse. Die beiden Zugkräfte wären falls sich das Seil nicht über eine Rolle bewegen würde dieselben. Hier jedoch nicht: Der Unterschied der beiden Zugkräfte bewirkt ein Drehmoment auf das Rad. Eine andere Sicht ist: Beide Seile mit ihren angehängten Massen bewirken ein Drehmoment auf das Rad -- m_ gegen den Uhrzeigersinn m_ mit dem Uhrzeigersinn. Formal ausgedrückt heisst das: M_i J alpha RFZ_-FZ_ J fracaR FZ_-FZ_ fracMR^ fracaR^ frac Ma Aus den ersten beiden Gleichungen oben erhält man ausserdem: FZ_-FZ_ m_g-m_a -m_g-m_a m_-m_g - m_+m_ a Gleichsetzen und auflösen nach a führt auf: a fracm_-m_gm_+m_+fracJR^ gfracm_-m_m_+m_+fracM Mit dieser Beschleunigung geht die Masse m_ dem Boden entgegen. Die Höhe der Masse m_ abhängig von der Zeit ist also: ht h_ - h't h_ - fracat^ h_ - fracm_-m_m_+m_+M gt^