Trägheitsmoment eines inhomogenen Kegels
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The following quantities appear in the problem:
The following formulas must be used to solve the exercise:
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Exercise:
Berechne das Trägheitsmoment eines Kegels bezüglich seiner Symmetrieachse. Seine Dichte sei dabei gegeben durch rhor phi z rho_ + fracmupiphi.
Solution:
Die Masse des Kegels ist: m ddm && ddmrho ddV rho ddV && ddV rddrddphiddz text Zylinderkoordinaten rho rddrddphiddz rho_ + fracmupiphi rddrddphiddz && fracrzfracRH text Strahlensatz _^H ddz _^pi ddphi _^fracRHzddr r rho_ + fracmupiphi Alle Integrationen sauber durchgeführt ergibt: _^H ddz _^pi ddphi rho_ + fracmupiphi leftfracr^right_^fracRHz _^H ddz _^pi ddphi rho_ + fracmupiphi fracfracR^z^H^ _^H ddz fracfracR^z^H^ left rho_phi + fracmupifracphi^ right_^pi _^H ddz fracfracR^z^H^ pi rho_ + mupi pi rho_ + mupi leftfracfracR^H^ fracz^ right_^H pi rho_ + mupi fracfracR^H^ fracH^ rho_ + mu pi frac R^H Das Trägheitsmoment wird wie folgt berechnet: J r^ ddm && ddmrho ddV r^rho ddV && ddV rddrddphiddz text Zylinderkoordinaten rho r^ rddrddphiddz rho_ + fracmupiphi r^ddrddphiddz && fracrzfracRH text Strahlensatz _^H ddz _^pi ddphi _^fracRHzddr r^ rho_ + fracmupiphi Alle Integrationen sauber durchgeführt ergibt: _^H ddz _^pi ddphi rho_ + fracmupiphi leftfracr^right_^fracRHz _^H ddz _^pi ddphi rho_ + fracmupiphi fracfracR^z^H^ _^H ddz fracfracR^z^H^ left rho_phi + fracmupifracphi^ right_^pi _^H ddz fracfracR^z^H^ pi rho_ + mupi pi rho_ + mupi leftfracfracR^H^ fracz^ right_^H pi rho_ + mupi fracfracR^H^ fracH^ pi rho_ + mupi frac R^H frac rho_ + mu pi frac R^H R^ frac m R^
Berechne das Trägheitsmoment eines Kegels bezüglich seiner Symmetrieachse. Seine Dichte sei dabei gegeben durch rhor phi z rho_ + fracmupiphi.
Solution:
Die Masse des Kegels ist: m ddm && ddmrho ddV rho ddV && ddV rddrddphiddz text Zylinderkoordinaten rho rddrddphiddz rho_ + fracmupiphi rddrddphiddz && fracrzfracRH text Strahlensatz _^H ddz _^pi ddphi _^fracRHzddr r rho_ + fracmupiphi Alle Integrationen sauber durchgeführt ergibt: _^H ddz _^pi ddphi rho_ + fracmupiphi leftfracr^right_^fracRHz _^H ddz _^pi ddphi rho_ + fracmupiphi fracfracR^z^H^ _^H ddz fracfracR^z^H^ left rho_phi + fracmupifracphi^ right_^pi _^H ddz fracfracR^z^H^ pi rho_ + mupi pi rho_ + mupi leftfracfracR^H^ fracz^ right_^H pi rho_ + mupi fracfracR^H^ fracH^ rho_ + mu pi frac R^H Das Trägheitsmoment wird wie folgt berechnet: J r^ ddm && ddmrho ddV r^rho ddV && ddV rddrddphiddz text Zylinderkoordinaten rho r^ rddrddphiddz rho_ + fracmupiphi r^ddrddphiddz && fracrzfracRH text Strahlensatz _^H ddz _^pi ddphi _^fracRHzddr r^ rho_ + fracmupiphi Alle Integrationen sauber durchgeführt ergibt: _^H ddz _^pi ddphi rho_ + fracmupiphi leftfracr^right_^fracRHz _^H ddz _^pi ddphi rho_ + fracmupiphi fracfracR^z^H^ _^H ddz fracfracR^z^H^ left rho_phi + fracmupifracphi^ right_^pi _^H ddz fracfracR^z^H^ pi rho_ + mupi pi rho_ + mupi leftfracfracR^H^ fracz^ right_^H pi rho_ + mupi fracfracR^H^ fracH^ pi rho_ + mupi frac R^H frac rho_ + mu pi frac R^H R^ frac m R^