Trägheitsmoment eines inhomogenen Quaders
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Exercise:
Bestimme das Trägheitsmoment eines Quaders mit Längen abc in x- y- und z-Richtung bezüglich einer Achse durch eine seiner längsten Kanten mit Länge a. Die Dichte des Quaders sei dabei gegeben durch rhoxyz alpha x + beta y^ + gamma z^.
Solution:
J _m r^ mboxdm && mboxdm rho mboxdV _V x^+y^ rhomboxdV && mboxdV mboxdxmboxdymboxdz _x_y_z x^+y^ rho mboxdxmboxdymboxdz && textIntegrationsgrenzen rho _-fraca^fraca mboxdx _-fracb^fracb mboxdy _-fracc^fracc x^+y^ mboxdz &&textIntegration nach z Man könnte an der Stelle noch eine Symmetrieregel ausnutzen und für z.B. _-fraca^fraca dots mboxdx _^fraca dots mboxdx schreiben. Es ist aber andererseits eine gute Algebraübung es nicht zu tun... J rho _-fraca^fraca mboxdx _-fracb^fracb mboxdy leftx^+y^zright_-fracc^fracc rho c _-fraca^fraca mboxdx leftleftx^y+fracy^rightright_-fracb^fracb rho c _-fraca^fraca leftx^b+fracb^right mboxdx && btext ausklammern rho bc _-fraca^fraca leftx^+fracb^right mboxdx rho bc leftleftfrac x^+fracb^xrightright_-fraca^fraca rho bc leftfrac a^+fracb^aright && atext ausklammern rho abc frac a^+b^ && m rho Vrho abc frac m a^+b^
Bestimme das Trägheitsmoment eines Quaders mit Längen abc in x- y- und z-Richtung bezüglich einer Achse durch eine seiner längsten Kanten mit Länge a. Die Dichte des Quaders sei dabei gegeben durch rhoxyz alpha x + beta y^ + gamma z^.
Solution:
J _m r^ mboxdm && mboxdm rho mboxdV _V x^+y^ rhomboxdV && mboxdV mboxdxmboxdymboxdz _x_y_z x^+y^ rho mboxdxmboxdymboxdz && textIntegrationsgrenzen rho _-fraca^fraca mboxdx _-fracb^fracb mboxdy _-fracc^fracc x^+y^ mboxdz &&textIntegration nach z Man könnte an der Stelle noch eine Symmetrieregel ausnutzen und für z.B. _-fraca^fraca dots mboxdx _^fraca dots mboxdx schreiben. Es ist aber andererseits eine gute Algebraübung es nicht zu tun... J rho _-fraca^fraca mboxdx _-fracb^fracb mboxdy leftx^+y^zright_-fracc^fracc rho c _-fraca^fraca mboxdx leftleftx^y+fracy^rightright_-fracb^fracb rho c _-fraca^fraca leftx^b+fracb^right mboxdx && btext ausklammern rho bc _-fraca^fraca leftx^+fracb^right mboxdx rho bc leftleftfrac x^+fracb^xrightright_-fraca^fraca rho bc leftfrac a^+fracb^aright && atext ausklammern rho abc frac a^+b^ && m rho Vrho abc frac m a^+b^