Rollende Kugel
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Exercise:
Eine Kugel der Masse gram starte aus der Ruhe am Punkt A und rolle über die unten abgebildete Bahn. Ihre Geschwindigkeit am Punkt B sei und am Punkt C noch . center tikzpicturescale. % Bahn draw very thick -- arc ::cm -- ++ .; filldraw fillgray!drawnone -- arc ::cm -- ++ . -- .- -- - -- ; % Punkte draw fillblack . circle mm node left A; draw fillblack .-.-. circle mm node above B; draw fillblack .. circle mm node above C; % Kugel shadedraw shadingball .. circle .cm; % Hilfsgerade draw dashed .-.-. -- ++ -.*-.*.; draw .- arc ::; node at .-. fns degr; tikzpicture center enumerate item Bestimmen Sie den Abstand zwischen B und C sofern die Kugel reibungsfrei rollt. item Bestimmen Sie die Arbeit welche durch die Reibung auf der Strecke von B nach C verrichtet wird falls diese m lang ist. In diesem Fall ist die Bahn natürlich nicht reibungsfrei. Die Geschwindigkeiten bei B und C sind jedoch dieselben wie bei bf a. item Bestimmen Sie für bf b. den Reibungskoeffizienten. enumerate
Solution:
Beachten Sie dass die Höhe und der Zustand bei A keine Rolle spielen für diese Aufgabe. Wir nehmen den Potentialnullpunkt bei B an. enumerate item Mit der Energieerhaltung erhalten wir direkt: E_kinB E_kinC + E_potC^S quad Leftrightarrow quad frac mv_^ frac m v^ + mgs_BCsinalpha wobei s gesucht ist und alpha grad sind. Daraus folgt für die Strecke zwischen BC: s_BC fracv_^-v^gsinalpha apx m. item Nun gilt die Energieerhaltung nicht mehr und wir müssen den Energiesatz der Mechanik anwen. Es gilt: Delta E W quad Leftrightarrow quad E_potC^S + E_kinC - E_kinA W. Damit ist die Reibungsarbeit: W_R mgs'sinalpha + frac mv^ - frac mv_^ apx -.J wobei s' m ist. item Die Reibungsarbeit ist gegeben als: W_R -mu mgcosalpha s' myRarrow mu frac-W_Rmgs'cos alpha apx . enumerate
Eine Kugel der Masse gram starte aus der Ruhe am Punkt A und rolle über die unten abgebildete Bahn. Ihre Geschwindigkeit am Punkt B sei und am Punkt C noch . center tikzpicturescale. % Bahn draw very thick -- arc ::cm -- ++ .; filldraw fillgray!drawnone -- arc ::cm -- ++ . -- .- -- - -- ; % Punkte draw fillblack . circle mm node left A; draw fillblack .-.-. circle mm node above B; draw fillblack .. circle mm node above C; % Kugel shadedraw shadingball .. circle .cm; % Hilfsgerade draw dashed .-.-. -- ++ -.*-.*.; draw .- arc ::; node at .-. fns degr; tikzpicture center enumerate item Bestimmen Sie den Abstand zwischen B und C sofern die Kugel reibungsfrei rollt. item Bestimmen Sie die Arbeit welche durch die Reibung auf der Strecke von B nach C verrichtet wird falls diese m lang ist. In diesem Fall ist die Bahn natürlich nicht reibungsfrei. Die Geschwindigkeiten bei B und C sind jedoch dieselben wie bei bf a. item Bestimmen Sie für bf b. den Reibungskoeffizienten. enumerate
Solution:
Beachten Sie dass die Höhe und der Zustand bei A keine Rolle spielen für diese Aufgabe. Wir nehmen den Potentialnullpunkt bei B an. enumerate item Mit der Energieerhaltung erhalten wir direkt: E_kinB E_kinC + E_potC^S quad Leftrightarrow quad frac mv_^ frac m v^ + mgs_BCsinalpha wobei s gesucht ist und alpha grad sind. Daraus folgt für die Strecke zwischen BC: s_BC fracv_^-v^gsinalpha apx m. item Nun gilt die Energieerhaltung nicht mehr und wir müssen den Energiesatz der Mechanik anwen. Es gilt: Delta E W quad Leftrightarrow quad E_potC^S + E_kinC - E_kinA W. Damit ist die Reibungsarbeit: W_R mgs'sinalpha + frac mv^ - frac mv_^ apx -.J wobei s' m ist. item Die Reibungsarbeit ist gegeben als: W_R -mu mgcosalpha s' myRarrow mu frac-W_Rmgs'cos alpha apx . enumerate