Trägheitsmoment einer Scheibe bzw. eines Zylinders
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Exercise:
Bestimme das Trägheitsmoment einer homogenen Scheibe mit der Masse m und dem Radius R bezüglich ihrer Symmetrieachse.
Solution:
Das Trägheitsmoment einer Scheibe mit der Dicke D und der homogenen Dichte rho ist: I r^ mboxdm && mboxdm rho mboxdV r^ rho mboxdV && mboxdVrmboxdrmboxdphimboxdztext Zylinderkoordinaten rho r^ rmboxdrmboxdphimboxdz && textIntegrationsgrenzen festlegen rho _^R r^mboxdr _^pimboxdphi _^Dmboxdz && textegrieren rho leftfrac r^right_^R pi D rho frac R^ pi D && textsortieren frac rho D pi R^ R^ && A pi R^ text Kreisfläche frac rho AD R^ && m rho V rho AD frac mR^ Der Wechsel von kartesischen Koordinaten nach Zylinderkoordinaten mboxdxmboxdymboxdzrightarrow rmboxdrmboxdphimboxdz ist eigentlich eine glqq Substitutiongrqq von drei Variablen. Dafür muss die Jacobi-Matrix dieser Transformation ausgerechnet werden; ihre Determinante ist r was das r in rmboxdrmboxdphimboxdz erklärt. Die Koordinatentransformation sieht wie folgt aus: x rcosphi &f_rphi z y rsinphi &f_rphi z z z & f_rphi z Die Jacobi-Matrix dieser Koordinatentransformation ist: J fracpartial f_ipartial x'_j fracpartialxyzpartialrphiz pmatrix fracpartial xpartial r & fracpartial xpartial phi & fracpartial xpartial z fracpartial ypartial r & fracpartial ypartial phi & fracpartial ypartial z fracpartial zpartial r & fracpartial zpartial phi & fracpartial zpartial z pmatrix pmatrix cosphi & -rsinphi & sinphi & rcosphi & & & pmatrix Die Determinante dieser Matrix kann einfach ausgerechnet werden: Sie ist r. Daher: mboxdxmboxdymboxdzrightarrow rmboxdrmboxdphimboxdz.
Bestimme das Trägheitsmoment einer homogenen Scheibe mit der Masse m und dem Radius R bezüglich ihrer Symmetrieachse.
Solution:
Das Trägheitsmoment einer Scheibe mit der Dicke D und der homogenen Dichte rho ist: I r^ mboxdm && mboxdm rho mboxdV r^ rho mboxdV && mboxdVrmboxdrmboxdphimboxdztext Zylinderkoordinaten rho r^ rmboxdrmboxdphimboxdz && textIntegrationsgrenzen festlegen rho _^R r^mboxdr _^pimboxdphi _^Dmboxdz && textegrieren rho leftfrac r^right_^R pi D rho frac R^ pi D && textsortieren frac rho D pi R^ R^ && A pi R^ text Kreisfläche frac rho AD R^ && m rho V rho AD frac mR^ Der Wechsel von kartesischen Koordinaten nach Zylinderkoordinaten mboxdxmboxdymboxdzrightarrow rmboxdrmboxdphimboxdz ist eigentlich eine glqq Substitutiongrqq von drei Variablen. Dafür muss die Jacobi-Matrix dieser Transformation ausgerechnet werden; ihre Determinante ist r was das r in rmboxdrmboxdphimboxdz erklärt. Die Koordinatentransformation sieht wie folgt aus: x rcosphi &f_rphi z y rsinphi &f_rphi z z z & f_rphi z Die Jacobi-Matrix dieser Koordinatentransformation ist: J fracpartial f_ipartial x'_j fracpartialxyzpartialrphiz pmatrix fracpartial xpartial r & fracpartial xpartial phi & fracpartial xpartial z fracpartial ypartial r & fracpartial ypartial phi & fracpartial ypartial z fracpartial zpartial r & fracpartial zpartial phi & fracpartial zpartial z pmatrix pmatrix cosphi & -rsinphi & sinphi & rcosphi & & & pmatrix Die Determinante dieser Matrix kann einfach ausgerechnet werden: Sie ist r. Daher: mboxdxmboxdymboxdzrightarrow rmboxdrmboxdphimboxdz.