Exercise:
Bestimme das Trägheitsmoment einer Kugel mit homogener Dichte. Drehachse sei eine Achse durch ihren Mittelpunkt.

Solution:
Man ist geneigt dieses Trägheitsmoment einfach über I r^ mboxdm zu berechnen. Allerdings ist Vorsicht geboten: Mit r ist in diesem Integral der Abstand vom infinitesimalen Massenelement mboxdm zur Drehachse geme -- und es ist nicht zu verwechseln mit dem Abstand dieses Massenelementes vom Koordinatenursprung bzw. Schwerpunkt. Wandelt man nämlich vorschnell obiges Integral in Kugelkoordinaten um so erhält man I tilde r^ rho r^sinthetamboxdthetamboxdphimboxdr hierin bedeutet tilde r den Abstand von der Drehachse r den Abstand vom Koordinatenursprung. Sie sind natürlich nicht identisch. Daher muss man einen kleinen Trick anwen; die Trägheitsmomente bezüglich der x- y- und z-Achse als Drehachse sind jeweils I_x y^+z^ mboxdm I_y x^+z^ mboxdm I_z x^+y^ mboxdm und das Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen Drehachse durch den Koordinatenursprung bzw. Schwer- und Mittelpunkt der homogenen Kugel ist I tilde r^ mboxdm wobei tilde r nach wie vor den Abstand zu dieser beliebigen Drehachse bezeichnet. Da die Kugel symmetrisch ist gilt trivialerweise I I_x I_y I_z woraus I fracI_x+I_y+I_z frac left y^+z^ mboxdm+ x^+z^ mboxdm+ x^+y^ mboxdm right frac left y^+z^+x^+z^+x^+y^mboxdm right frac left x^+y^+z^mboxdmright frac x^+y^+z^mboxdm frac r^ mboxdm folgt. Mit diesem kleinen Trick konnten wir den Abstand zur Drehachse tilde r auf den Abstand zum Koordinatenursprung zurückführen was bei Kugelkoordinaten wesentlich einfacher zu egrieren ist. Die Kugel habe nun den Radius R und die homogene Dichte rho. Dann ist ihr Trägheitsmoment: I frac r^ mboxdm && mboxdm rho mboxdV frac r^ rho mboxdV && mboxdV r^sinthetamboxdthetamboxdphimboxdr text Kugelkoordinaten frac r^ rho r^sinthetamboxdthetamboxdphimboxdr frac rho _^pisinthetamboxdtheta _^pimboxdphi _^R r^mboxdr fracrho leftleft-costhetarightright_^pi pi frac R^ frac rho frac pi R^ R^ frac rho fracpi R^ R^ && textKugelvolumen: fracpi R^ frac mR^ Der Wechsel in Kugelkoordinaten entspricht der folgen Koordinatentransformation: x r shetacosphi y r shetasinphi z r costheta Die Jacobi-Matrix dieser Koordinatentrasformation ist: J pmatrix fracpartial xpartial r & fracpartial xpartial theta & fracpartial xpartial phi fracpartial ypartial r & fracpartial ypartial theta & fracpartial ypartial phi fracpartial zpartial r & fracpartial zpartial theta & fracpartial zpartial phi pmatrix pmatrix shetacosphi & rcosthetacosphi & -r shetasinphi shetasinphi & rcosthetasinphi & r shetacosphi costheta & -rsheta & pmatrix Die Determinante dieser Matrix ist: det J cos theta det pmatrix rcosthetacosphi & -r shetasinphi rcosthetasinphi & r shetacosphi pmatrix -- r sheta det pmatrixshetacosphi & -r shetasinphi shetasinphi & r shetacosphi pmatrix cos theta r^cos^phishetacostheta + r^sin^phishetacostheta + r sheta rsin^thetacos^phi + r sin^thetasin^phi costheta r^shetacostheta + rsheta rsin^theta r^ shetacos^theta + r^sin^theta r^ sheta cos^theta+ sin^theta r^ sheta Deshalb transformiert mboxdxmboxdymboxdz rightarrow r^sheta mboxdrmboxdthetamboxdphi.