Atom im Schwerpunkt
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Exercise:
Im Schwerpunktssystem des Elektrons und des Kerns eines Atoms sind der Impuls des Elektrons und des Kerns betragsgleich haben aber unterschiedliche Vorzeichen. enumerate item Sei p der Betrag des Impulses. Zeigen Sie dass die kinetische Energie des Elektrons und des Kerns gleich E_kin fracp^mu ist wobei mu fracm_eMm_e+M die sogn. reduzierte Masse m_e die Masse des Elektrons und M die Masse des Kerns ist. enumerate Es lässt sich zeigen dass die Bewegung des Kerns berücksichtigt werden kann indem man die Masse des Elektrons durch die reduzierte Masse ersetzt. enumerate setcounterenumi item Benutzen Sie R frace^mpihbar^cepsilon_^ wobei Sie m durch die reduzierte Masse ersetzen um die Rydberg-Konstante für das Wasserstoff M m_p und für einen sehr schweren Kern M rightarrow infty zu berechnen. item Berechnen Sie die durch die Bewegung des Protons verursachte prozentuale Abweichung der Grundzustandsenergie des Wasserstoffs. enumerate
Solution:
enumerate item Wenn das Elektron mit der Masse m_e und der Kern mit der Masse M jeweils einen Impuls mit dem Betrag p haben so ist die gesamte kinetische Energie E_kin fracp^m_e + fracp^M fracp^leftfracm_e+fracMright fracp^leftfracm_e+Mm_eMright. item Wir ersetzen m durch mu und erhalten für die Rydberg-Konstante R fracpiepsilon_^fracmu e^pi c hbar^. Für das Wasserstoffatom ist mu .m_e. Wir der Kern als unlich schwer angenommen so ist die reduzierte Masse des Atoms mu m_e. Damit wird R_infty .m^- und R_H . R_infty .m^-. item Die Grundzustandsenergie des Wasserstoffsatoms ist proportional zu m. Somit reduziert das Ersetzen von m durch mu die Energie um den Faktor .;das entspricht einer Verringerung um .%. enumerate
Im Schwerpunktssystem des Elektrons und des Kerns eines Atoms sind der Impuls des Elektrons und des Kerns betragsgleich haben aber unterschiedliche Vorzeichen. enumerate item Sei p der Betrag des Impulses. Zeigen Sie dass die kinetische Energie des Elektrons und des Kerns gleich E_kin fracp^mu ist wobei mu fracm_eMm_e+M die sogn. reduzierte Masse m_e die Masse des Elektrons und M die Masse des Kerns ist. enumerate Es lässt sich zeigen dass die Bewegung des Kerns berücksichtigt werden kann indem man die Masse des Elektrons durch die reduzierte Masse ersetzt. enumerate setcounterenumi item Benutzen Sie R frace^mpihbar^cepsilon_^ wobei Sie m durch die reduzierte Masse ersetzen um die Rydberg-Konstante für das Wasserstoff M m_p und für einen sehr schweren Kern M rightarrow infty zu berechnen. item Berechnen Sie die durch die Bewegung des Protons verursachte prozentuale Abweichung der Grundzustandsenergie des Wasserstoffs. enumerate
Solution:
enumerate item Wenn das Elektron mit der Masse m_e und der Kern mit der Masse M jeweils einen Impuls mit dem Betrag p haben so ist die gesamte kinetische Energie E_kin fracp^m_e + fracp^M fracp^leftfracm_e+fracMright fracp^leftfracm_e+Mm_eMright. item Wir ersetzen m durch mu und erhalten für die Rydberg-Konstante R fracpiepsilon_^fracmu e^pi c hbar^. Für das Wasserstoffatom ist mu .m_e. Wir der Kern als unlich schwer angenommen so ist die reduzierte Masse des Atoms mu m_e. Damit wird R_infty .m^- und R_H . R_infty .m^-. item Die Grundzustandsenergie des Wasserstoffsatoms ist proportional zu m. Somit reduziert das Ersetzen von m durch mu die Energie um den Faktor .;das entspricht einer Verringerung um .%. enumerate