Falsche und richtige Lösung
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Exercise:
Zeigen Sie ... enumerate item dass die Wellenfunktion Psixt Ae^kx-omega t die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung nicht erfüllt. item dass die Wellenfunktion Psixt Ae^ikx-omega t die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung erfüllt. enumerate Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung lautet: -frachbar^m fracpartial^partial x^Psixt + VxtPsixt ihbarfracpartial partial tPsixt.
Solution:
enumerate item Bestimmen wir die partiellen Ableitungen: eqnarray* fracpartial^ Psipartial x^ & k^ Psi fracpartial Psipartial t & -omega Psi eqnarray* Eingesetzt in die Gleichung erhalten wir: -hbar^k^Psi/m + VPsi -ihbaromegaPsi. Die rechte Seite dieser Gleichung ist rein imaginär die linke dagegen nicht. item analog dazu: eqnarray* fracpartial^ Psipartial x^ & -k^ Psi fracpartial Psipartial t & -iomega Psi eqnarray* Eingesetzt in die Gleichung erhalten wir: frachbar^k^mPsi + VPsi hbaromegaPsi. Das ist eine Lösung wenn hbaromega hbar^k^/m + V und dies entspricht der Energieerhaltung: E fracp^m + V wobei E hbar omega und p hbar k ist. enumerate
Zeigen Sie ... enumerate item dass die Wellenfunktion Psixt Ae^kx-omega t die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung nicht erfüllt. item dass die Wellenfunktion Psixt Ae^ikx-omega t die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung erfüllt. enumerate Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung lautet: -frachbar^m fracpartial^partial x^Psixt + VxtPsixt ihbarfracpartial partial tPsixt.
Solution:
enumerate item Bestimmen wir die partiellen Ableitungen: eqnarray* fracpartial^ Psipartial x^ & k^ Psi fracpartial Psipartial t & -omega Psi eqnarray* Eingesetzt in die Gleichung erhalten wir: -hbar^k^Psi/m + VPsi -ihbaromegaPsi. Die rechte Seite dieser Gleichung ist rein imaginär die linke dagegen nicht. item analog dazu: eqnarray* fracpartial^ Psipartial x^ & -k^ Psi fracpartial Psipartial t & -iomega Psi eqnarray* Eingesetzt in die Gleichung erhalten wir: frachbar^k^mPsi + VPsi hbaromegaPsi. Das ist eine Lösung wenn hbaromega hbar^k^/m + V und dies entspricht der Energieerhaltung: E fracp^m + V wobei E hbar omega und p hbar k ist. enumerate