Herleitung der Schrödinger-Gleichung
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Exercise:
In fünf einzelnen Schritten soll die Schrödinger-Gleichung hergeleitet werden. enumerate item Von welcher Gleichung sind wir ausgegangen um die Schrödinger-Gleichung herzuleiten? Wie lautet Sie? item Auf welchen Zusammenhang kommt man wenn man yxt y_ e^ikx-omega t einsetzt? item Was beschreibt dieser Zusammenhang aus bf b.? item Wie muss dieser Zusammenhang aus bf b. geändert werden um schliesslich die Schrödinger-Gleichung zu bekommen? item Leiten Sie daraus die Schrödinger-Gleichung her. enumerate
Solution:
Hier also die Herleitung: enumerate item Wir sind von der Wellengleichung ausgegangen d.h. fracpartial^partial x^ yxt fracc^ fracpartial^partial t^ yxt item Nach einsetzen und vereinfachen bekommt man folgen Zusammenhang: k^ fracomega^c^ myRarrow k fracomegac. item Das ist die Gleichung für die Energie eines masselosen Teilchens. Nach Multiplikation mit hbar erhalten wir: hbar k frachbaromega c. Mit E hbaromega und p hbar k erhalten wir E pc. item Anstelle der Energie für ein masseloses Teilchen muss die Energie für ein massives Teilchen zuzüglich der potentiellen Energie aufgeschrieben werden d.h. E fracp^m + Vxt wobei fracp^m der kinetischen Energie und Vxt der potentiellen Energie entspricht. item Nun die Energie auf der linken Seite ist wieder E hbar omega und der Impuls ist p hbar k damit erhalten wir hbar omega frachbar^ k^m + Vxt. omega erhält man durch einmalige Zeitableitung und k^ durch zweimalige Ortsableitung d.h. frachbar^mfracpartial^partial x^ Psixt hbarfracpartialpartial t Psixt. Da die einmalige Zeitableitung imaginär ist die Energieerhaltung jedoch real und das Minus der Ortsableitung nicht mehr durch das Minus der Zeitableitung ausgeglichen wird gilt: -frachbar^mfracpartial^partial x^ Psixt ihbarfracpartialpartial t Psixt. enumerate
In fünf einzelnen Schritten soll die Schrödinger-Gleichung hergeleitet werden. enumerate item Von welcher Gleichung sind wir ausgegangen um die Schrödinger-Gleichung herzuleiten? Wie lautet Sie? item Auf welchen Zusammenhang kommt man wenn man yxt y_ e^ikx-omega t einsetzt? item Was beschreibt dieser Zusammenhang aus bf b.? item Wie muss dieser Zusammenhang aus bf b. geändert werden um schliesslich die Schrödinger-Gleichung zu bekommen? item Leiten Sie daraus die Schrödinger-Gleichung her. enumerate
Solution:
Hier also die Herleitung: enumerate item Wir sind von der Wellengleichung ausgegangen d.h. fracpartial^partial x^ yxt fracc^ fracpartial^partial t^ yxt item Nach einsetzen und vereinfachen bekommt man folgen Zusammenhang: k^ fracomega^c^ myRarrow k fracomegac. item Das ist die Gleichung für die Energie eines masselosen Teilchens. Nach Multiplikation mit hbar erhalten wir: hbar k frachbaromega c. Mit E hbaromega und p hbar k erhalten wir E pc. item Anstelle der Energie für ein masseloses Teilchen muss die Energie für ein massives Teilchen zuzüglich der potentiellen Energie aufgeschrieben werden d.h. E fracp^m + Vxt wobei fracp^m der kinetischen Energie und Vxt der potentiellen Energie entspricht. item Nun die Energie auf der linken Seite ist wieder E hbar omega und der Impuls ist p hbar k damit erhalten wir hbar omega frachbar^ k^m + Vxt. omega erhält man durch einmalige Zeitableitung und k^ durch zweimalige Ortsableitung d.h. frachbar^mfracpartial^partial x^ Psixt hbarfracpartialpartial t Psixt. Da die einmalige Zeitableitung imaginär ist die Energieerhaltung jedoch real und das Minus der Ortsableitung nicht mehr durch das Minus der Zeitableitung ausgeglichen wird gilt: -frachbar^mfracpartial^partial x^ Psixt ihbarfracpartialpartial t Psixt. enumerate