Exercise:
Das Kasten-Potential gehorche folger Funktion Vx: Vx cases & le x le l infty & x l;x cases enumerate item Wie lautet die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung mit diesem Potential? item Diese Gleichung entspricht welcher Bewegungsgleichung? item Lösen Sie diese Gleichung mit dem Ansatz Psix Asinkx + Bcoskx d.h. bestimmen Sie k A und B. item Stellen Sie für n n die Wellenfunktion Psix und |Psix|^ graphisch dar. enumerate

Solution:
Lösen wir das Kasten-Potential Problem. enumerate item Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung lautet: -frachbar^mfracoperatornamed!^operatornamed!x^ Psix EPsix. item Die Differentialgleichung entspricht der Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillator. item Durch den Vergleich mit dem harmonischen Oszillator erhalten wir: k^ fracmEhbar^. Die Randbedingungen sind die Gleichen wie für eine eingespannte Seite d.h. Psix und Psixl . Damit bekommt man: Psix Asink + Bcosk B myRarrow B und Psixl Asink l myRarrow kl npi. Damit ist die Wellenzahl k_n diskret d.h. k_n fracnpilqquad n ... Um A noch zu bestimmen muss die Normierung erfüllt sein d.h. _-infty^+infty |Psix|^ operatornamed!x _^l A^sin^k_nx operatornamed!x. Mit der Koordinatentransformation y kx erhalten wir: fracA^k_n_^k_nl sin^yoperatornamed!y fracA^k_n leftfracy - sin ycos yright_^k_nl fracA^k_nfrack_nl myRarrow A sqrtfracl. Damit lautet die Lösung: Psi_nx sqrtfraclsinleftfracnpilxright. item Stellen wir die Funktionen dar dann sehen wir folges: center tikzpicturescale. % Koordinatensystem und Potential draw thick-latex -. -- node right x; draw thick-latex -. nodebelow -- node above textcolorbluePsi;textcolorred|Psi|^; draw thick -. nodebelow l -- ; % Funktion draw domain:drawbluethick plotidpsi_ samples function*sqrt.*sin.*x; draw domain:drawbluethick plotidpsi_ samples function*sqrt.*sin*.*x; draw domain:drawredthick plotidpsipsi_ samples function*.*sin.*x*sin.*x; draw domain:drawredthick plotidpsipsi_ samples function*.*sin*.*x*sin*.*x; tikzpicture center enumerate