Grenzwert von Folge
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Exercise:
Gegeben ist die Folge: a_n fracn^ + n - n^ + n + Bestimme den Grenzwert a der Folge. Von welchem Glied an sind alle Glieder der Folge um weniger als wertx vom Grenzwert a entfernt?
Solution:
Um den Grenzwert für n to infty zu bestimmen teilen wir Zähler und Nenner durch n^: a_n fracfracn^n^ + fracnn^ - fracn^fracn^n^ + fracnn^ + fracn^ frac + fracn - fracn^ + fracn + fracn^ Da fracn to und fracn^ to für n to infty folgt: lim_n to infty a_n frac + - + + subsectionBestimmung von n für |a_n - | wertx Wir setzen die Bedingung: left| fracn^ + n - n^ + n + - right| wertx Umformen des Bruchs: left| fracn^ + n - - n^ + n + n^ + n + right| wertx Nun kann ausgerechnet werden: left| frac-n^ + n + right| wertx Da der Bruch negativ ist können wir die Betragsstriche weglassen: fracn^ + n + wertx Multiplikation mit n^ + n + ergibt: wertx n^ + n + pgfmathsetmacroresult/wertx Umstellen: numresult n^ + n + pgfmathsetmacroresulty-result n^ + n numresulty subsectionLösen der quadratischen Ungleichung Die Gleichung: n^ + n numresulty wird mit der Mitternachtsformel gelöst: pgfmathsetmacroresultv-*resulty pgfmathsetmacroresultz+resultv n frac- pm sqrt^ - numresulty frac- pm sqrt + numresultv frac- pm sqrtnumresultz. Näherungsweise: pgfmathsetmacroresultbsqrtresultz sqrtresultz approx numresultb n frac- pm numresultb. Die positive Lösung ist: pgfmathsetmacroresulto- + resultb pgfmathsetmacroresultaresulto/ n_ frac- + numresultb fracnumresulto approx numresulta Da n ganzzahlig sein muss folgt n geq fpevalceilresulta. sectionErgebnis itemize item Der Grenzwert der Folge ist textbf. item Ab textbfn fpevalceilresulta gilt |a_n - | wertx. itemize
Gegeben ist die Folge: a_n fracn^ + n - n^ + n + Bestimme den Grenzwert a der Folge. Von welchem Glied an sind alle Glieder der Folge um weniger als wertx vom Grenzwert a entfernt?
Solution:
Um den Grenzwert für n to infty zu bestimmen teilen wir Zähler und Nenner durch n^: a_n fracfracn^n^ + fracnn^ - fracn^fracn^n^ + fracnn^ + fracn^ frac + fracn - fracn^ + fracn + fracn^ Da fracn to und fracn^ to für n to infty folgt: lim_n to infty a_n frac + - + + subsectionBestimmung von n für |a_n - | wertx Wir setzen die Bedingung: left| fracn^ + n - n^ + n + - right| wertx Umformen des Bruchs: left| fracn^ + n - - n^ + n + n^ + n + right| wertx Nun kann ausgerechnet werden: left| frac-n^ + n + right| wertx Da der Bruch negativ ist können wir die Betragsstriche weglassen: fracn^ + n + wertx Multiplikation mit n^ + n + ergibt: wertx n^ + n + pgfmathsetmacroresult/wertx Umstellen: numresult n^ + n + pgfmathsetmacroresulty-result n^ + n numresulty subsectionLösen der quadratischen Ungleichung Die Gleichung: n^ + n numresulty wird mit der Mitternachtsformel gelöst: pgfmathsetmacroresultv-*resulty pgfmathsetmacroresultz+resultv n frac- pm sqrt^ - numresulty frac- pm sqrt + numresultv frac- pm sqrtnumresultz. Näherungsweise: pgfmathsetmacroresultbsqrtresultz sqrtresultz approx numresultb n frac- pm numresultb. Die positive Lösung ist: pgfmathsetmacroresulto- + resultb pgfmathsetmacroresultaresulto/ n_ frac- + numresultb fracnumresulto approx numresulta Da n ganzzahlig sein muss folgt n geq fpevalceilresulta. sectionErgebnis itemize item Der Grenzwert der Folge ist textbf. item Ab textbfn fpevalceilresulta gilt |a_n - | wertx. itemize