Exercise:
Im Quadrat mit der Seitenlänge s a wird von A ausgeh ein Streckenzug mit unlich vielen Strecken eingezeichnet. Wie gross ist der Flächeninhalt aller unlich vielen hervorgehobenen Dreiecke?

Solution:
Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich durch: A_n frac textBasis_n textHöhe_n. Die Basis des n-ten Dreiecks ist: textBasis_n frac^n. Die Höhe des n-ten Dreiecks ist: textHöhe_n frac^n-. Damit ergibt sich die Fläche des n-ten Dreiecks zu: A_n frac frac^n frac^n- frac frac^n- frac^n. center tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at -; coordinate D at -; coordinate labelbelow left:a a at -..; coordinate labelbelow left:A A at -; coordinate labelbelow:fracE at -.; coordinate labelbelow:fracF at -.; coordinate labelright:fracG at .; coordinate labelbelow:fracH at -.; coordinate labelright:fracI at .; coordinate a at -.; filldrawwhite a circle pt; filldrawfillfadedgreen drawfadedgreen -- - -- -. -- ; filldrawfillfadedgreen drawfadedgreen . -- -. -- -. -- .; filldrawfillfadedgreen drawfadedgreen . -- -. -- -. -- .; drawthickA -- B; drawthickB -- C; drawthickC -- D; drawthickD -- A; drawthickD -- B; drawthickE -- B; drawthickE -- G; drawthickF -- G; drawthickF -- I; drawthickH -- I; tikzpicture center Die Gesamtfläche aller Dreiecke ist: A_tot _n^infty A_n _n^infty frac^n. Dies ist eine geometrische Reihe mit: itemize item Startwert: A_ frac^ frac item Quotient: q frac. itemize Die Summe einer unlichen geometrischen Reihe lautet: _n^infty A_n fracA_ - q. Setzen wir die Werte ein: A_tot fracfrac - frac fracfracfrac frac. subsection*Ergebnis Die Gesamtfläche aller Dreiecke ist: A_tot frac. Für a a: pgfmathsetmacroresulta*/ A_tot a * frac approx numround-modeplaces round-precisionresult