Länge von eckiger Spirale
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Exercise:
Drei Geraden schneiden sich im Punkt S unter gleich grossen Winkeln. Vom Punkt der auf einer dieser Geraden liegt und acm von S entfernt ist fällt man das Lot auf die Gerade links von P. Vom Fusspunkt des Lotes fällt man das nächste Lot auf die Gerade links davon usw. Wie lang wird die so entstandene Spirale?
Solution:
center tikzpicturescale . shift - coordinate S at ; drawblack thick S -- ; drawblack thick S -- .; drawblack thick S -- -.; drawblack thick S -- -; drawblack thick S -- --.; drawblack thick S -- -.; drawblue thick . -- -.. nodemidway above a_; drawblue thick -.. -- -. nodemidway left a_; drawblue thick -. -- -.-. nodemidway below a_; drawblue thick -.-. -- .-. nodemidway below a_; drawgreen thick . -- S nodemidway right text black a textcm S_; drawgreen thick -.. -- S nodemidway right text black S_; drawgreen thick -. -- S nodemidway above text black S_; drawgreen thick -.-. -- S nodemidway left text black S_; filldrawcolorred fillred!!white S--S+. arc ::.--cycle; nodeblack at . ^circ; tikzpicture center Um die Strecke a_ zu berechnen verwen wir den Sinus von ^circ. * a_ S_ sin^circ S_ fracsqrt * Um die Strecke S_ zu berechnen verwen wir den Kosinus von ^circ * S_ S_ cos^circ S_ frac * Daraus kann man schliessen dass S_n so berechnet werden kann: * S_n S_ cos^circ^n S_ leftfracright^n * Daher wird a_n folgermassen berechnet: * a_n S_n fracsqrt S_ leftfracright^n fracsqrt * Mit a_n kann man nun die Länge der Spirale berechnen: x ^infty_i left S_ leftfracright^i fracsqrtright S_ fracsqrt ^infty_ileftfracright^i Weil die Summe gegen konvergiert erhalten wir als Finales ergebniss: pgfmathsetmacroxa * sqrt/ * x S_ fracsqrt S_ sqrt x textcm
Drei Geraden schneiden sich im Punkt S unter gleich grossen Winkeln. Vom Punkt der auf einer dieser Geraden liegt und acm von S entfernt ist fällt man das Lot auf die Gerade links von P. Vom Fusspunkt des Lotes fällt man das nächste Lot auf die Gerade links davon usw. Wie lang wird die so entstandene Spirale?
Solution:
center tikzpicturescale . shift - coordinate S at ; drawblack thick S -- ; drawblack thick S -- .; drawblack thick S -- -.; drawblack thick S -- -; drawblack thick S -- --.; drawblack thick S -- -.; drawblue thick . -- -.. nodemidway above a_; drawblue thick -.. -- -. nodemidway left a_; drawblue thick -. -- -.-. nodemidway below a_; drawblue thick -.-. -- .-. nodemidway below a_; drawgreen thick . -- S nodemidway right text black a textcm S_; drawgreen thick -.. -- S nodemidway right text black S_; drawgreen thick -. -- S nodemidway above text black S_; drawgreen thick -.-. -- S nodemidway left text black S_; filldrawcolorred fillred!!white S--S+. arc ::.--cycle; nodeblack at . ^circ; tikzpicture center Um die Strecke a_ zu berechnen verwen wir den Sinus von ^circ. * a_ S_ sin^circ S_ fracsqrt * Um die Strecke S_ zu berechnen verwen wir den Kosinus von ^circ * S_ S_ cos^circ S_ frac * Daraus kann man schliessen dass S_n so berechnet werden kann: * S_n S_ cos^circ^n S_ leftfracright^n * Daher wird a_n folgermassen berechnet: * a_n S_n fracsqrt S_ leftfracright^n fracsqrt * Mit a_n kann man nun die Länge der Spirale berechnen: x ^infty_i left S_ leftfracright^i fracsqrtright S_ fracsqrt ^infty_ileftfracright^i Weil die Summe gegen konvergiert erhalten wir als Finales ergebniss: pgfmathsetmacroxa * sqrt/ * x S_ fracsqrt S_ sqrt x textcm