Exercise:
Dem Startquadrat mit einer Seitenlänge von sValue cm wird das Mittenquadrat einbeschrieben diesem wieder das Mittenquadrat usw. abcliste abc Welchen Flächeninhalt hat die spiralförmige Figur? abc Welchen Umfang hat sie? abcliste center tikzpicture coordinatelabelleft:A A at ; coordinatelabelright:B B at sValue; coordinatelabelright:C C at sValuesValue; coordinatelabelleft:D D at sValue; draw A -- B -- C -- D -- cycle; draw sValue*. -- sValuesValue*. -- sValue*.sValue -- sValue*. -- cycle; draw sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- cycle; draw sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- cycle; draw sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- cycle; draw sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- cycle; draw sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- cycle; fillblack C -- sValue*.sValue -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. --sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValuesValue*. -- cycle; drawfillblacksValue*.sValue*. circle pt; drawfillblacksValue*.sValue*. circle pt; drawfillblacksValue*.sValue*. circle pt; tikzpicture center

Solution:
Um den Flächeninhalt der spiralförmigen Figur auszurechnen betrachten wir die Spirale als eine Sammlung von schwarzen Dreiecken die immer kleiner werden. center tikzpicturescale. coordinatelabelleft:A A at ; coordinatelabelright:B B at sValue; coordinatelabelright:C C at sValuesValue; coordinatelabelleft:D D at sValue; draw A -- B -- C -- D -- cycle; draw sValue*. -- sValuesValue*. -- sValue*.sValue -- sValue*. -- cycle; draw sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- cycle; draw sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- cycle; draw sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- cycle; draw sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- cycle; draw sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- cycle; fillblack C -- sValue*.sValue -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. --sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValuesValue*. -- cycle; drawwhite very thick sValuesValue*. -- sValue*.sValue; drawwhite very thick sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*.; drawwhite very thick sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*.; drawwhite very thick sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*.; drawwhite very thick sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*.; drawfillblacksValue*.sValue*. circle pt; drawfillblacksValue*.sValue*. circle pt; drawfillblacksValue*.sValue*. circle pt; nodewhite at sValue*/sValue*/ A_; nodewhite at sValue*.sValue*/ A_; nodewhite at sValue*/sValue*/ A_; nodewhite at sValue*/sValue*. A_; nodewhitescale. at sValue*/sValue*/ A_; nodewhitescale. at sValue*.sValue*/ A_; tikzpicture center center tikzpicturescale. coordinatelabelleft:A A at ; coordinatelabelright:B B at sValue; coordinatelabelright:C C at sValuesValue; coordinatelabelleft:D D at sValue; draw A -- B -- C -- D -- cycle; draw sValue*. -- sValuesValue*. -- sValue*.sValue -- sValue*. -- cycle; draw sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- cycle; draw sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- cycle; draw sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- cycle; draw sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- cycle; draw sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- cycle; fillblack C -- sValue*.sValue -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. --sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*. -- sValuesValue*. -- cycle; nodeleftpt at sValue*. s_; nodeleftptbelowpt at sValue*.sValue*. s_; nodebelowpt at sValue*.sValue*. s_; nodeabovept at sValue*.sValue s_text triangle; nodeleftptabovept at sValue*.sValue*. s_text triangle; nodeleftpt at sValue*.sValue*. s_text triangle; drawredvery thick D -- A; drawredvery thick sValue*. -- sValue*.; drawredvery thick sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*.; drawredvery thick C -- sValue*.sValue; drawredvery thick sValue*.sValue -- sValue*.sValue*.; drawredvery thick sValue*.sValue*. -- sValue*.sValue*.; tikzpicture center Das erste schwarze Dreieck befindet sich in einer Ecke des großen Quadrats. Wir wissen dass dieses Dreieck entsteht weil das zweite Quadrat genau in der Mitte des ersten Quadrats platziert ist. Dadurch wird die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats halbiert sodass die Katheten des ersten schwarzen Dreiecks * s_text triangle fracs_ s_text triangle round-modeplaces round-precisionsdValuecm * betragen. Außerdem wissen wir dass dieses Dreieck rechtwinklig und gleichschenklig ist da es einen Winkel des Quadrats immer ^circ enthält und die beiden kürzeren Seiten gleich lang sind. Die Formel für die Fläche eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks lautet: * A_ fracs_text triangle^ A_ fracfracs_^ A_ fracs_^ * Setzen wir der Wert ein erhalten wir: * A_ fracround-modeplaces round-precisionsValuecm^ A_ round-modeplaces round-precisionAValuecm^ * subsection*. Flächeninhalt des Dreiecks Für die Seitenlänge des zweiten Dreiecks benötigen wir die Seitenlänge des zweiten Quadrats. Diese können wir mit dem Satz des Pythagoras für das erste Dreieck berechnen: * s_^ s_text triangle^ + s_text triangle^ s_ sqrts_text triangle^ s_ sqrt*round-modeplaces round-precisionfpevalsdValue^cm^ s_ round-modeplaces round-precisionssValuecm * Setzen wir diesen Wert in die Flächenformel ein erhalten wir die Fläche des zweiten Dreiecks: * A_ fracs_text triangle^ A_ fracfracs_^ A_ fracs_^ A_ fracround-modeplaces round-precisionssValuecm^ A_ round-modeplaces round-precisionAAValuecm^ * Dieser Vorgang wiederholt sich wobei bei jedem Schritt die Fläche des neuen Dreiecks die Hälfte der Fläche des vorherigen Dreiecks beträgt. Die gesamte Fläche ist eine unliche geometrische Reihe: * A_texttotal A_ + A_ + A_ + dots A_texttotal round-modeplaces round-precisionAValuecm^ + round-modeplaces round-precisionAAValuecm^ + round-modeplaces round-precisionAAAValuecm^ + dots * Um die gesamte Fläche zu berechnen verwen wir die Formel für die Summe einer unlichen geometrischen Reihe: * A_texttotal fracA_-q * Mit dem ersten Glied A_ round-modeplaces round-precisionAValuecm^ und dem Quotienten q frac ergibt sich: * A_texttotal fracround-modeplaces round-precisionAValuecm^ - frac A_texttotal fracround-modeplaces round-precisionAValuecm^frac A_texttotal round-modeplaces round-precisionAtotalValuecm^ * Umwandlung in Meter: * A_texttotal round-modeplaces round-precisionAtotalValue * ^-m^ * textbfAntwort a: Der Flächeninhalt der spiralförmigen Figur beträgt round-modeplaces round-precisionAtotalValue * ^-m^ . subsection*b Umfang der spiralförmigen Figur Der Umfang der vom ersten Quadrat verwet wird beträgt: * U_ fracs_ + fracs_ U_ * fracs_ U_ s_ U_ round-modeplaces round-precisionsValuecm * Dies ergibt sich da wir zweimal die Hälfte von s_ addieren. Der Umfang der vom zweiten Quadrat verwet wird beträgt: * U_ fracs_ + fracs_ U_ * fracs_ U_ s_ U_ round-modeplaces round-precisionssValuecm * Setzt man diese Berechnungen fort erhält man eine weitere unliche geometrische Reihe wobei das erste Glied U_ round-modeplaces round-precisionsValuecm und der Quotient q fracsqrt ist. Der gesamte Umfang der spiralförmigen Figur ergibt sich daher aus der unlichen geometrischen Reihe: * U_texttotal U_ + U_ + U_ + dots U_texttotal round-modeplaces round-precisionUValuecm + round-modeplaces round-precisionUUValuecm + round-modeplaces round-precisionUUUValuecm + dots * Die Gesamtme berechnet sich mit der Formel für die Summe einer unlichen geometrischen Reihe: * U_texttotal fracU_-q U_texttotal fracround-modeplaces round-precisionUValuecm - fracsqrt U_texttotal fracround-modeplaces round-precisionUValuecm - . U_texttotal fracround-modeplaces round-precisionUValuecm. U_texttotal round-modeplaces round-precisionUtotalValuecm * Umwandlung in Meter: * U_texttotal round-modeplaces round-precisionUtotalValue * ^-m * textbfAntwort b: Der Umfang der spiralförmigen Figur beträgt round-modeplaces round-precisionUtotalValue * ^-m .