Exercise:
Einem Quadrat mit der Seite a wird ein Kreis eingeschoben diesem ein Quadrat diesem wieder ein Kreis usw. abcliste abc Berechne die Summe aller Quadratumfänge. abc Berechne die Summe aller Kreisflächen. abcliste

Solution:
center tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at -; coordinate D at -; coordinate labelbelow left:a a at -..; coordinate labelbelow left:a_ a_ at -..; coordinate labelbelow left:a_ a_ at -..; coordinate E at -..; coordinate F at -..; coordinate G at -..; coordinate H at -..; coordinate I at -..; coordinate J at -..; coordinate K at -..; coordinate L at -..; drawthickA -- B; drawthickB -- C; drawthickC -- D; drawthickD -- A; drawthick -..circle .; drawthickE -- F; drawthickF -- G; drawthickG -- H; drawthickH -- E; drawthick -..circle .; drawthickI -- J; drawthickJ -- K; drawthickK -- L; drawthickL -- I; drawthick -..circle .; tikzpicture center * A_Q_ a^ A_K_ pileftfracaright^ longrightarrow quad d a quad d.h.quad r fraca A_Q_ a_^ fraca^longrightarrow quad a^ a_^ + a_^ a_^ A_K_ pi*r_pi leftfracsqrtfraca^right^ fraca &longrightarrow quad a_ sqrtfraca^ fracasqrt &longrightarrow quad r_ fraca_ fracsqrtfraca^ fracasqrt &longrightarrow quad a_ fraca_sqrt fracasqrt^ fraca * Verallgemeinerung der Seiten und Radien: * a_n fracasqrt^n- em r_n fraca_n fracasqrt^n- * center tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at -; coordinate D at -; coordinate labelbelow left:a a at -..; coordinate E at -..; coordinate F at -..; coordinate G at -..; coordinate H at -..; coordinate I at -..; coordinate J at -..; coordinate K at -..; coordinate L at -..; drawthickA -- B; drawthickB -- C; drawthickC -- D; drawthickD -- A; drawthick -..circle .; filldrawfillfadedgreen drawfadedgreen -..circle .; drawthickE -- F; drawthickF -- G; drawthickG -- H; drawthickH -- E; filldrawfillwhite drawblack -.. rectangle -..; drawthick -..circle .; filldrawfillfadedgreen drawfadedgreen -..circle .; drawthickI -- J; drawthickJ -- K; drawthickK -- L; drawthickL -- I; filldrawfillwhite drawblack -.. rectangle -..; drawthick -..circle .; filldrawfillfadedgreen drawfadedgreen -..circle .; tikzpicture center Die Fläche des n-ten Kreises: A_K_n pir_n^ pileftfracasqrt^n-right^ pi fracfraca^^n- Also lautet die gesamte Fläche der Kreise: * _n^infty A_K_n _n^infty pi fracfraca^^n-em pi leftfracaright^ _n^infty frac^n- * Dies ist eine unliche geometrische Reihe mit q frac Diese wird folgermassen gelöst: _n^infty aq^n- fraca-q _n^infty frac^n- + frac + frac +frac + ... frac-frac Daraus folgt: pgfmathsetmacroresulta^/ * pi * leftfracaright^ fraca^ pi .em fürquad a a .em fraca^ pi result pi .em * %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% center tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at -; coordinate D at -; coordinate labelbelow left:a a at -..; coordinate E at -..; coordinate F at -..; coordinate G at -..; coordinate H at -..; coordinate I at -..; coordinate J at -..; coordinate K at -..; coordinate L at -..; drawthickredA -- B; drawthickredB -- C; drawthickredC -- D; drawthickredD -- A; drawthick -..circle .; drawthickredE -- F; drawthickredF -- G; drawthickredG -- H; drawthickredH -- E; drawthick -..circle .; drawthickredI -- J; drawthickredJ -- K; drawthickredK -- L; drawthickredL -- I; drawthick -..circle .; tikzpicture center Der Umfang des n-ten Quadrats: U_n a_n fracasqrt^n- Die Summe der Umfänge aller Quadrate ist: _n^infty U_n _n^infty fracasqrt^n- Die Summe einer unlichen geometrischen Reihe mit U_ a und q fracsqrt lautet: _n^infty U_n fracU_-q U_tot fraca- frac sqrt Vereinfachung: * U_tot fracafracsqrt-sqrt .em a fracsqrtsqrt+sqrt-sqrt+ .em a fracsqrtsqrt+- longrightarrow quad - .em a sqrtsqrt+ .em a + sqrt .em * pgfmathsetmacroresulta * a * + ^/ pgfmathsetmacroresultb * a pgfmathsetmacroresultc * a * textfürquad a a .em + sqrt resultb+ resultc sqrt.em &approx numround-modeplaces round-precisionresulta.em *