Exercise:
Im Quadrat mit der Seitenlänge s s wird von A ausgeh ein Streckenzug mit unlich vielen Strecken eingezeichnet. Wie lange ist dieser Streckenzug Linie in Blau und Gelb? center tikzpicturescale draw -- s -- ss -- s--cycle; draw cyan line widthmm -- ss; draw yellow line widthmmss -- halfs; draw cyan line widthmmhalfs--shalfs; draw yellow line widthmmshalfs-- basess; draw cyan line widthmmbasess-- shalfss; draw yellow line widthmmshalfss-- basesss; draw cyan line widthmmbasesss-- shalfsss; draw yellow line widthmmshalfsss-- basessss; draw cyan line widthmmbasessss-- shalfssss; draw shalfssss-- basesssss -- s halfsssss; draw -- ss; draw ss -- halfs; draw halfs--shalfs; draw shalfs-- basess; draw basess-- shalfss; draw shalfss-- basesss; draw basesss-- s halfsss; draw shalfsss-- basessss; draw basessss-- shalfssss; coordinate A at ; node at -. A; node at halfs-. fracs; node at basess-. fracs; node at basesss-. fracs; node at -.halfs s; node at snodehalfs fracs; node at snodehalfss fracs; node at snodehalfsss fracs; tikzpicture center

Solution:
Zuerst berechnen wir gegen welche Zahl die textcolorcyanblaue Strecke konvergiert. Mit dem Satz des Pythagoras: s_^ s^ + s^ s^ s_^ fracs^ + fracs^ fracs^ s_^ fracs^ + fracs^ fracs^ vdots notag Daraus schliesst sich: s_ sqrt s s_ sqrt fracs s_ sqrt fracs vdots notag textcolorcyans s_ + s_+ s_ + dots textcolorcyans sqrt s +sqrt fracs +sqrt fracs + dots textcolorcyans sqrt textcolorreds +fracs + fracs + fracs + dots &textDer textcolorredrote Teil konvergiert gegen skonvert notag textcolorcyans textcolorcyan sqrt skonvert Als nächstes berechnen wir noch gegen welche Zahl die textcoloryellowgelbe Strecke konvergiert. Mit dem Satz des Pythagoras: s_^ s^ + fracs^ frac s_^ frac^ + frac^ frac s_^ frac^ + frac^ frac vdots notag Daraus schliesst sich: s_ fracsqrt s_ fracsqrt s_ fracsqrt vdots notag textcoloryellows s_ + s_+ s_ + dots textcoloryellows fracsqrt +fracsqrt +fracsqrt + dots textcoloryellows fracsqrt textcolorred+frac+frac+ dots &textDer textcolorredrote Teil konvergiert gegen notag textcoloryellows textcoloryellowsqrt Die Länge des Streckenszugs ist also: s textcolorcyans + textcoloryellows s textcolorcyan sqrt skonvert +textcoloryellowsqrt s &approx fpevalroundsqrt*skonvert + sqrt