Exercise:
ie blau markierten Winkel messen je blauenWinkel°; der Winkel Z ist WinkelZ°; a ist aone cm lang. Der dargestellte Zickzackbewegung führt von S nach Z. a Wie Lang ist die Strecke overlineSZ? b Wie lang is Zickzackbewegung center tikzpicture tkzDefPoZ tkzDefPo.B tkzDefPo..S tkzDefPo..D tkzDefPo.E tkzDefPo..F tkzDefPo.b_ tkzDefPo..b_ tkzDefPo.b_ tkzDefPo.b_n tkzLabelPosb_ tkzLabelPosb_ tkzLabelPosb_ tkzLabelPosb_n tkzDrawPosZ B S tkzMarkAnglecolorblueBDS tkzMarkAnglecolorblueZSB tkzMarkAnglecolorblueZDE tkzMarkAnglecolorblueEFS tkzLabelAnglepos.BZSWinkelZ^circ tkzLabelPosB tkzLabelAnglepos.BZS... tkzDrawSegmentsSZ BZ SB tkzDrawSegmentsBD tkzDrawSegmentsDE tkzDrawSegmentsEF tkzLabelSegmentslopedBSa_ aone cm tkzLabelSegmentslopedDEa_ tkzLabelAnglepos.BSZS tkzLabelAnglepos.SZBZ draw -- . tikzpicture center

Solution:
Wir wissen dass overlineSZ die Summe aller b-Strecken ist overlineSZ b + b + b +... + bn Dies kann als Summe ausgedrückt werden: overlineSZ limits^n_ib_i Entscheid ist dass die Längen der b-Strecken eine geometrische Folge bilden. Dies liegt daran dass alle kleinen Dreiecke kongruent sind da sie jeweils zwei Winkeln von °beibehalten. Dadurch verkleinern sich die Streckenverhältnisse stets um denselben Faktor q. Da es sich um eine geometrische Reihe handelt das heisst alle b-Strecken werden addiert können wir die Summe mithilfe der Summenformel für geometrische Folgen berechnen. Diese lautet: overlineSZ b_ fracq^n -q- Der Faktor q gibt an wie man von bn auf bn+ kommt. Daher müssen wir zuerst b und b ausrechnen b_ fraca_cosblauenWinkel b_ fracaonecosblauenWinkel b_ fpevalroundaone/cosblauenWinkel*pi/ cm b_ fraca_cosblauenWinkel Um bei der Berechnung von b_ weiterzukommen brauchen wir zuerst a_. Um a_ zu finden müssen wir wissen dass: defWinkeldeltafpevalround-WinkelZ-blauenWinkel-+blauenWinkel+blauenWinkel defWinkelepsilonfpevalround--*blauenWinkel-Winkeldelta tikzpicture tkzDefPoZ tkzDefPo.B tkzDefPo..S tkzDefPo..D tkzDefPo..D tkzDefPo.E tkzDefPo..F tkzDefPo.b_ tkzDefPo..b_ tkzDefPo.b_ tkzDefPo.b_n tkzLabelPosb_ tkzLabelPosb_ tkzLabelPosb_ tkzLabelPosb_n tkzLabelPosD tkzDrawPosZ B S tkzMarkAngleBDS tkzMarkAngleZSB tkzMarkAngleZDE tkzMarkAngleEFS tkzMarkAnglecolorbrownBED tkzMarkAnglecolorblueDBE tkzLabelAnglepos.BEDWinkelepsilon tkzLabelAnglepos.DBEWinkeldelta tkzLabelAnglepos.BZSWinkelZ^circ tkzLabelPosB tkzLabelAnglepos.BZS... tkzDrawSegmentsSZ BZ SB tkzDrawSegmentsBD tkzDrawSegmentsDE tkzDrawSegmentsEF tkzDrawSegmentcolorredSB tkzDrawSegmentcolorredBD tkzLabelSegmentslopedBSa_ aone cm tkzLabelAnglepos.BSZS tkzLabelAnglepos.SZBZ draw -- . tikzpicture enumerate item textbfDas Dreieck DBS ist gleichschenklig da es zwei gleich große Winkel besitzt. Dies bedeutet dass die rot markierten Strecken gleich lang sind. item textbfBestimmung des blauen Winkels Winkeldelta^circ : Wir betrachten das Dreieck ZBD . Der Winkel bei Z beträgt WinkelZ^circ . Am Punkt D gibt es drei Winkel von denen zwei bereits bekannt sind: blauenWinkel^circ . Da der dritte Winkel ein rechter Winkel ^circ ist können wir nun berechnen: ^circ - WinkelZ^circ - blauenWinkel^circ - ^circ Winkeldelta^circ Dies ergibt den gesuchten blauen Winkel. item textbfBestimmung des roten Winkels Winkelepsilon^circ : Da die Winkelme im Dreieck immer ^circ beträgt und wir die zwei andere Winkeln schon haben blaue Winkel und recht Winkel berechnen wir den roten Winkel mit: ^circ - ^circ - Winkeldelta^circ Winkelepsilon^circ Dies ergibt den gesuchten roten Winkel. enumerate Mit diesen Informationen können wir nun a_ berechnen defbonefpevalroundaone/cosblauenWinkel*pi/ defbtwofpevalroundaone/tanWinkelepsilon*pi//cosblauenWinkel*pi/ defqfpevalroundbtwo/bone a_ fraca_tanWinkelepsilon fpevalroundaone/tanWinkelepsilon*pi/ cm b_ fraca_cosblauenWinkel b_ fpevalroundaone/tanWinkelepsilon*pi//cosblauenWinkel*pi/ cm Nun haben wir b_ und b_ rausgefunden. Wir wissen dass b_ ist b_ * q. Wenn wir diese Gleichung nach q auflösen kommen wir auf das folge Resultat: b_ * q b_ q fracb_b_ q Schliesslich setzen wir unsere Werte in die Summenformel der geometrischen Reihe ein. Dabei kann n beliebig groß gewählt werden beispielsweise n Da n theoretisch gegen unlich gehen sollte wählen wir einen ausreich großen Wert. Da die b -Strecken jedoch immer kleiner werden nähert sich die Summe einem Grenzwert an. Daher genügt es einen großen Wert für n einzusetzen um eine präzise Annäherung zu erhalten. overlineSZ b_ fracq^n -q- overlineSZ bone fracq^ -q- overlineSZ numfpevalroundboneq^-/q- cm Lösung: Die Strecke overlineSZ ist numfpevalroundboneq^-/q- cm lang sectionwisssenschaftliche Schreibweise a overlineSZ b_ fracq^n -q- overlineSZ fraca_cosblauenWinkel*fracfracb_b_^n -fracb_b_- overlineSZ fraca_cosblauenWinkel*fracfracb_ fraca_cosblauenWinkel^n -fracb_ fraca_cosblauenWinkel- overlineSZ fraca_cosblauenWinkel*fracfracfraca_cosblauenWinkel fraca_cosblauenWinkel^n -fracfraca_cosblauenWinkel fraca_cosblauenWinkel- overlineSZ fraca_cosblauenWinkel*fracfraca_a_^n -fraca_a_- overlineSZ fraca_cosblauenWinkel*fracfracfraca_cosblauenWinkel fraca_cosblauenWinkel^n -fracfracfraca_tanWinkelepsiloncosblauenWinkel fraca_cosblauenWinkel- overlineSZ fraca_cosblauenWinkel*fracfracfraca_tanWinkelepsilona_^n -fracfraca_tanWinkelepsilona_- overlineSZ fraca_cosblauenWinkel*fracfractanWinkelepsilon^n -fractanWinkelepsilon- overlineSZ fraca_cosblauenWinkel*fracfractan - - Winkeldelta^n -fractan - - Winkeldelta- overlineSZ fraca_cosblauenWinkel*fracfractan - - - WinkelZ - - ^n -fractan - - - WinkelZ - - - overlineSZ fraca_cosblauenWinkel*fracfractan + WinkelZ^n -fractan + WinkelZ- overlineSZ fracaonecosblauenWinkel*fracfractan + WinkelZ^ -fractan + WinkelZ- overlineSZ numfpevalroundboneq^-/q- cm overlineSZ numfpevalroundboneq^-/q-/ m sectionLösungsweg b tikzpicture tkzDefPoZS tkzDefPo.B tkzDefPo..S tkzDefPo..D tkzDefPo.E tkzDefPo..F tkzDefPo.b_ tkzDefPo..b_ tkzDefPo.b_ tkzDefPo.b_n tkzLabelPosb_ tkzLabelPosb_ tkzLabelPosb_ tkzLabelPosb_n tkzDrawPosZ B S tkzMarkAngleBDS tkzMarkAngleZSB tkzMarkAngleZDE tkzMarkAngleEFS tkzLabelAnglepos.BZSWinkelZ^circ tkzLabelPosB tkzLabelAnglepos.BZS... tkzDrawSegmentsSZ BZ SB tkzDrawSegmentsthick greenBS tkzDrawSegmentsthick greenBD tkzDrawSegmentsthick greenDE tkzDrawSegmentsthick greenEF tkzLabelSegmentslopedBSa_ aone cm tkzLabelSegmentslopedBDa_ tkzLabelSegmentslopedDEa_ tkzLabelAnglepos.BSZS tkzLabelAnglepos.SZBZ draw -- . tikzpicture * * Die Zickzacklinie grün markiert ist: S_n a_ + a_ + a_ + a_ +... + a_n + a_n a_ + a_ + ... +a_n limits^n_ia_i Aus den gleichen Gründen wie a handelt es sich auch hier um eine geometrische Reihe. Daher können wir erneut die entspreche Summenformel anwen. Wichtig ist jedoch dass wir das Ergebnis mit multiplizieren da jede Strecke doppelt vorkommt – zunächst zweimal a_ dann zweimal a_ und so weiter. S_n *a_ fracq^n -q- q ist wie man von a_ auf a_ kommt. defatwofpevalroundaone/tanWinkelepsilon*pi/ defq'fpevalroundatwo/aone a_ a_ * q q fraca_a_ q' cm Nun können wir unseres q in unsere Anfangsformel einsetzen Sn * a_ fracq^n -q- Sn * aone fracq'^ -q'- numfpevalround*aone*q'^-/q'- cm Lösung: Die Zickzacklinie ist numfpevalround*aone*q'^-/q'- cm lang. sectionwissenschaftliche Schreibweisse b Sn * a_ fracq^n -q- Sn * a_ fracfraca_a_^n -fraca_a_- Sn * a_ fracfracfraca_tanWinkelepsilona_^n -fracfraca_tanWinkelepsilona_- Sn * a_ fracfracfraca_tan - - Winkeldeltaa_^n -fracfraca_tan - - Winkeldeltaa_- Sn * a_ fracfracfraca_tan - - - WinkelZ - - a_^n -fracfraca_tan - - - WinkelZ - - a_- Sn * a_ fracfracfraca_tan + WinkelZa_^n -fracfraca_tan + WinkelZa_- Sn * a_ fracfractan + WinkelZ^n -fractan + WinkelZ- Sn * aone fracfractan + WinkelZ^ -fractan + WinkelZ- Sn numfpevalround*aone*q'^-/q'- cm Sn numfpevalround*aone*q'^-/q'-/ m