Exercise:
Die Spirale P_ P_ P_ P_... ist gegeben. Es gilt: P_ xo/yoyI P_ xIxII/yoyI P_ xIxII/yIIyIII. Die aufeinanderfolgen Spiralstrecken bilden eine geometrische Folge. a. Bestimme die Länge der Spirale. b. Welche Koordinaten hat der Punkt im Spiralzentrum? center tikzpicture % Achsen zeichnen draw- - -- laengex noderight x; draw- - -- laengey nodeabove y; fill xoyoyI circle pt nodebelow left P_ xo/yoyI; fill xIxIIyoyI circle pt nodebelow right P_ xIxII/yoyI; fill xIxIIyIIyIII circle pt nodeabove right P_ xIxII/yIIyIII; fill laengexdreiyIIyIII circle pt nodeabove left P_; fill laengexdreilaengeyvier circle pt nodebelow left P_; fill laengexfuenflaengeyvier circle pt nodebelow right P_; fill laengexfuenflaengeysechs circle pt nodeabove right P_; draw xoyoyI -- xIxIIyoyI -- xIxIIyIIyIII -- laengexdreiyIIyIII -- laengexdreilaengeyvier -- laengexfuenf laengeyvier -- laengexfuenflaengeysechs; tikzpicture center

Solution:
Das erste Streckenstück verläuft von P_ xo/yoyI nach P_ xIxII/yoyI x_ xeins Das zweite Streckenstück verläuft von P_ xIxII/yoyInach P_ xIxII/yIIyIII x_ xzwei Der Verkürzungsfaktor zwischen aufeinanderfolgen Strecken beträgt: q fracx_x_ fracxzweixeins Das bedeutet dass jede Strecke fracxzweixeins der vorherigen Strecke entspricht. Da nach jedem Streckenstück um ^circ im Quadrat abgebogen wird heisst das: . Nach Rechts Länge von x_ . Nach Oben Länge von x_ . Nach Links Länge x_ x_ q numxIIIxIV . Nach Unten Länge x_ x_ q numyIVyV . usw... pgfmathsetmacroresultsxeins/-xzwei/xeins subsubsectionGesamtlänge der Spirale Mit der geometrischen Reihe Erstglied a xeins Quotient q fracxzweixeins können wir die Summe aller Streckenstücke berechnen: s_infty a + aq + aq^ + aq^ + ... fraca - q fracxeins - fracxzweixeins numresults Die Länge der gesamten unlichen Spirale ist numresults. vspacemm subsectionb. Koordinaten des Spiralzentrums Zuerst wir der Grenzpunkt ermittelt als Summe der Vektorverschiebungen. Die Spirale dreht sich abwechselnd nach rechts oben links unten usw... Hier ist dazu die Schnellformel: x_infty fraca + q^ y_infty fracaq + q^ Wir wissen dass a xeins ist und q fracxzweixeins pgfmathsetmacroresultrhochzweixzwei/xeins^ pgfmathsetmacronennerrxzwei^ pgfmathsetmacrozaehlerrxeins^ pgfmathsetmacroresultrpluseins + resultrhochzwei pgfmathsetmacroresultnennerzaehlerr + nennerr pgfmathsetmacroresultxxeins * zaehlerr/resultnenner pgfmathsetmacroresultynennerxzwei * zaehlerr pgfmathsetmacroresultyresultynenner / resultnenner .& quad q^ fracxzweixeins^ fracnennerrzaehlerr numresultrhochzwei .& quad + q^ + fracnennerrzaehlerr fracresultnennerzaehlerr numresultrpluseins .& quad x_infty fracfracxeinsresultnennerzaehlerr xeins times fraczaehlerrresultnenner numresultx .& quad y_infty xeins times fracfracxzweixeinsfracresultnennerzaehlerr xzwei times fraczaehlerrresultnenner fracresultynennerresultnenner numresulty Die Kooridnaten des Spiralzentrums lauten: x/y numresultx/numresulty