Exercise:
A und B sind Seitenmittenpunkte eines Quadrats mit der Seitenlänge seite. Von A aus wird das Lot auf BZ gefällt A_ von A_ aus das Lot auf AZ A_ usw. bis zum Ende. Wie lang ist der Zickzackweg von A nach Z? Vergleiche diese Weglänge mit dem direkten Weg AZ. center tikzpicturescale. % Quadrat drawthick rectangle seiteseite; coordinatelabelleft:A A at seitehalb; coordinatelabelbelow:B B at seitehalb; coordinatelabelright:Z Z at seiteseite; coordinatelabelabove:seite seite at seitehalbseite; drawthick dotted A--Z; drawthick dotted B--Z; drawthick A--seite*.seite*.; coordinatelabelright:A_ A_ at seite*.seite*.; drawthick seite*.seite*.--seite*. seite*.; coordinatelabelabove:A_ A_ at seite*. seite*.; drawthick seite*. seite*.--seite*. seite*.; coordinatelabelright:A_ A_ at seite*. seite*.; drawthick seite*. seite*.--seite*.seite*.; coordinatelabelabove:A_ A_ at seite*.seite*.; drawthick seite*.seite*.--seite*.seite*.; coordinatelabelright:A_ A_ at seite*.seite*.; drawthick seite*.seite*.--seite*. seite*.; drawthick seite*. seite*.--seite*. seite*.; tikzpicture center

Solution:
Die Länge des Zickzackwegs setzt sich aus einer Folge von Strecken zusammen die sich abwechselnd in ihrer Richtung und Länge ändern. Zuerst müssen wir die Länge AZ wissen: AZ sqrtfpevalseitehalb^+seite^ round-modeplaces round-precisionfpevalseitehalb^+seite^^. % Nachkommastellen Wir berechnen den Winkel angle BZA: gamma arctanfracfpevalseite*.seite round-modeplaces round-precisionfpevalatanseitehalb/seite*/pi % Nachkommastellen Jetzt rechnen wir den Winkel im Dreieck angle ABZ: delta - *gamma round-modeplaces round-precisionfpeval-*atanseitehalb/seite*/pi % Nachkommastellen Zudem berechnen wir noch den Winkel im Dreieck angle ZAA_: alpha -*-gamma round-modeplaces round-precisionfpeval-*-atanseitehalb/seite*/pi % Nachkommastellen center tikzpicturescale. % Quadrat drawthick rectangle seiteseite; coordinatelabelleft:A A at seitehalb; coordinatelabelbelow:B B at seitehalb; coordinatelabelright:Z Z at seiteseite; coordinatelabelabove:seite seite at seitehalbseite; drawthick dotted A--Z; drawthick dotted B--Z; drawthick A--seite*.seite*.; coordinatelabelright:A_ A_ at seite*.seite*.; drawthick seite*.seite*.--seite*. seite*.; coordinatelabelabove:A_ A_ at seite*. seite*.; drawthick seite*. seite*.--seite*. seite*.; coordinatelabelright:A_ A_ at seite*. seite*.; drawthick seite*. seite*.--seite*.seite*.; coordinatelabelabove:A_ A_ at seite*.seite*.; drawthick seite*.seite*.--seite*.seite*.; coordinatelabelright:A_ A_ at seite*.seite*.; drawthick seite*.seite*.--seite*. seite*.; drawthick seite*. seite*.--seite*. seite*.; drawthick green A--seiteseite; coordinatelabelabove:AZ AZ at seite*.seite*.; %Alle neuen Winkel tkzMarkAngleblue size.AZB tkzLabelAngleblue pos.AZBdelta tkzMarkAnglered size.A_AA_ tkzLabelAnglered pos.A_AA_alpha tikzpicture center Anschliess berechnen wir AA_ AA_ sindelta*AZ round-modeplaces round-precisionfpevalsin-*atanseitehalb/seite*/pi*pi/*seitehalb^+seite^^. % Nachkommastellen Da wir jetzt AA_ wissen können wir für die geometrische Reihe das q und AA_ etc... bestimmen. AA_ round-modeplaces round-precisionfpevalsin-*-atanseitehalb/seite*/pi*pi/*sin-*atanseitehalb/seite*/pi*pi/*seitehalb^+seite^^. % Nachkommastellen Somit lässt sich sagen dass unser q round-modeplaces round-precisionfpevalsin-*-atanseitehalb/seite*/pi*pi/ ist. Die Länge dieses Zickzack ist wiefolgt: textLänge_textZickzack _n^infty AZ * .^n round-modeplaces round-precisionfpevalsin-*atanseitehalb/seite*/pi*pi/*seitehalb^+seite^^.*-sin-*-atanseitehalb/seite*/pi*pi/^/-sin-*-atanseitehalb/seite*/pi*pi/ % Nachkommastellen Der Zickzackweg ist dreimal so lang wie der direkte Weg von A nach Z: AZ Zickzackweg