Exercise:
Die Masszahlen der Seiten a overlineAB und b overlineBC und der Diagonalen e overlineAC und f overlineBD des Parallelogramms ABCD bilden in der Reihenfolge a b e f eine geometrische Folge. Wie gross sind die Winkel des Parallelogramms? center tikzpicture coordinate A at ; coordinate B at ; coordinate C at ; coordinate D at ; % Zeichnen des Parallelogramms draw thick A -- B -- C -- D -- cycle; % Beschriftung der Eckpunkte node at A below left A; node at B below right B; node at C above right C; node at D above left D; draw blue A -- ++. arcstart angle angle radiuscm nodemidway right alpha; draw red B -- ++.. arcstart angle angle radiuscm nodemidway left gamma; draw blue C -- ++-. arcstart angl angl radiuscm nodemidway left alpha; draw red D -- ++. arcstart angl angl radius.cm nodemidway right gamma; draw dashed black thick A -- C; draw dashed black thick D -- B; node at below a; node at . below rightb; node at above e; node at .. above f; tikzpicture center

Solution:
Da die Reihenfolge a b e f eine geometrische Folge bildet heisst das es gibt eine konstante Ratio also ein konstantes Verhältnis q : a & a b & aq e & aq^ f & aq^ overlineAB overlineDC a overlineBC overlineAD b Um die Diagonale e fromal zu berechnen benutzen wir den Kosinussatz: e^ & overlineAC^ & a^ + b^ + abcosgamma e^ & a^ q^ a^ q^ & a^ + a^ q^ + abcosgamma q^ & + q^ + qcosgamma Auch die Diagonale f berechnen wir mit dem Kosinussatz formal: f^ & overlineBD^ & a^ + b^ - abcosgamma f^ & a^ q^ a^ q^ & a^ + a^ q^ - abcosgamma q^ & + q^ - qcosgamma subsectionErmittlung von q Wir addieren nun die Gleichungen von e und f zusammen um daraus q zu berechnen: q^ + q^ & + q^ + qcosgamma + + q^ - qcosgamma & + q^ + + q^ & + q^ q^ + q^ & + q^ vspacemm Falls + q^ ne können wir folge Gleichung aufstellen: q^ & q & sqrt q & ^/ q^ & sqrt subsectionErmittlung von cosgamma Nun können wir durch subtrahieren von e und f den Winkel gamma berechnen: q^ - q^ & + q^ + qcosgamma - + q^ - qcosgamma & qcosgamma + qcosgamma & qcosgamma q^ - q^ & qcosgamma cosgamma & fracq^ - q^q Nun wird q ^/ q^ und q^ sqrt eingesetzt: newcommandcalcpgfmathparse#pgfmathresult pgfmathsetmacrobo-sqrt pgfmathsetmacroao^/ pgfmathsetmacroresult - bo pgfmathsetmacroresultybo/ao pgfmathsetmacroresultxacosresulty pgfmathsetmacroresulta-resultx cosgamma & frac - sqrt * ^/ & frac - sqrt * ^/ & frac - sqrt^+/ & frac - sqrt^/ Für die Übersicht rechnen wir den Nenner und den Zähler des Bruches aus: - sqrt & numbo ^/ & *^/ & numao Diese setzen wir in die Gleichung ein und rechnen gamma aus: cosgamma & fracnumbonumao & numresulty gamma & arccosnumresulty & numresultx^circ Wir wissen dass alpha und gamma addiert ^circ ergeben muss. Desshalb rechen wir alpha folgermassen aus: alpha & ^circ - gamma & ^circ - numresultx^circ & numresulta^circ