Exercise:
Ein Student sitzt an einer Strasse an der ein Feuerwehrauto mit konstanter Geschwindigkeit v_textf auf dem Weg zu einer Feuerwehrübung vorbeifährt. Die Sirene des Feuerwehrautos habe die Frequenz nu_textf. Die vom Studenten währ dem Annähern wahrgenommene Frequenz sei nu_texta und die beim Entfernen des Feuerwehrautos wahrgenommene Frequenz sei nu_texte. enumerate item Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v_textf des Feuerwehrautos in textkm/texth und die Frequenz nu_textf des Sirenensignals als Funktion der Frequenzen nu_texta und nu_texte und berechnen Sie deren Werte für nu_texta textHz und nu_texte textHz. Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt v_textstextm/texts. item Der Student folgt dem Feuerwehrauto auf seinem Fahrrad mit konstanter Geschwindigkeit v_textSt.textkm/h. Dadurch ändert sich die von ihm wahrgenommene Frequenz auf den Wert nu_. Wenig später ist das Feurwehrauto am Übungsplatz angekommen währ der Student sich noch auf seinem Weg befindet. Nun nimmt der Student eine andere Frequenz nu_ wahr. Bestimmen Sie die Frequenzen nu_ und nu_. item Am Strassenrand befindet sich ein fest installiertes Radargerät das die Geschwindigkeit des herannahen Feuerwehrautos über elektromagnetische Wellen der Wellenlänge lambda_textLaser textnm misst. Massgeb ist dabei der Betrag des relativen Frequenzunterschiedes Deltanufracnu_textRefl.-nu_textLasernu_textLaser zwischen der ausgesandten Laserfrequenz und der vom Feuerwehrauto reflektierten Frequenz. Berechnen Sie mit Hilfe des relativistischen Dopplereffekts den relativen Frequenzunterschied Deltanu. enumerate

Solution:
enumerate item Gegeben sind nu_mathrme mathrmHz nu_mathrma mathrmHz und v_mathrmsmathrmm/mathrms. Ausgeh von den Formeln für den Dopplereffekt im Falle einer bewegten Quelle und eines ruhen Beobachters gelten folge Beziehungen: nu_mathrmanu_mathrmffrac-fracv_mathrmfv_mathrms qquadnu_mathrme nu_mathrmffrac+fracv_mathrmfv_mathrms. Über diese Beziehungen erhält man mit * nu_mathrmaleft-fracv_mathrmfv_mathrmsrightnu_mathrmfnu_mathrmeleft+fracv_mathrmfv_mathrmsrightqquadLeftrightarrow qquad nu_mathrma-nu_mathrmefracv_mathrmfv_mathrmsleftnu_mathrma+nu_mathrmeright * als Endergebnis für die Geschwindigkeit des Feuerwehrautos displaymath v_mathrmfv_mathrmsfracnu_mathrma-nu_mathrmenu_mathrma+nu_mathrmeapprox . fracmathrmm mathrmsapprox . mathrmkm/h. displaymath Für die Frequenz des Sirenensignals ergibt sich displaymath nu_fnu_mathrmaleft-fracnu_mathrma-nu_mathrmenu_mathrma+nu_mathrmerightfracnu_mathrmanu_mathrmenu_mathrma+nu_mathrmeapprox mathrmHz. displaymath item Die Bewegung des Studenten mit v_mathrmSt.mathrmkm/h muss bei der Berechnung der Frequenz nu_ berücksichtigt werden: Das Feuerwehrauto entfernt sich und der Student bewegt sich als Beobachter in die selbe Richtung wie das Auto. noindent nu_mathrme ist die Frequenz die der Beobachter in Ruhe beim Entfernen des Autos hört. Somit erhalten wir displaymath nu_nu_mathrmffrac+fracv_mathrmfv_mathrmsleft+fracv_mathrmSt.v_mathrmsrightnu_mathrmeleft+fracv_mathrmSt.v_mathrmsrightapprox mathrmHz. displaymath Berechnung der Frequenz nu_: Das Feuerwehrauto ist in Ruhe und der Student bewegt sich als Beobachter auf das Auto zu. displaymath Rightarrowquadnu_nu_mathrmfleft+fracv_mathrmSt.v_mathrmsrightfracnu_mathrmanu_mathrmenu_mathrme+nu_mathrmaleft+fracv_mathrmSt.v_mathrmsrightapprox mathrmHz. displaymath item Gegeben ist lambda_mathrmLaser mathrmnm. Mit lambda_mathrmLasernu_mathrmLasermathrmc erhält man die Frequenz des reflektierten Signales indem man zweimal den relativistischen Dopplereffekt für die Annäherung anwet: displaymath nu_mathrmRefl.nu_mathrmLasersqrtfrac+beta_mathrmF-beta_mathrmFsqrtfrac+beta_mathrmF-beta_mathrmF displaymath wobei natürlich beta_mathrmFv_mathrmF/mathrmc. Daraus folgt für die relative Frequenzänderung displaymath Deltanufrac+beta_mathrmF-beta_mathrmF-fracbeta_mathrmF-beta_mathrmFapprox . ^-mathrmHz. displaymath enumerate