Exercise:
In einem Experiment messe man die Energie eines Elektrons E_- und eines Positrons Antiteilchen des Elektrons E_+. Die Annahme lautet dass sie von einem Zerfall eines massiven Teilchen sogn. Z-Boson stammen dessen Masse m_Z sei. Zeigen Sie dass die folge Beziehung gilt: m_Z sqrtE_-E_+-cosvarphi_pm wobei Sie die Masse des Elektrons und des Positrons vernachlässigen können und der Winkel zwischen dem Elektron und Positron varphi_pm ist. Das Z-Boson steht beim Zerfall nicht still. Setzen Sie c.

Solution:
Nun wir betrachten sowohl die Energi und Impulserhaltung und erhalten: E_Z E_+ + E_- und vec p_Z vec p_+ + vec p_-. Da wir nur die Masse des Z-Bosons kennen verwen wir die EnergiImpuls-Beziehung d.h. es gilt: E_Z^ m_Z^ + p_Z^ myRarrow m_Z^ + p_Z^ E_+ + E_-^. Durch ausmultiplizieren erhalten wir: m_Z^ + p_Z^ E_+^ + E_-^ + E_+E_-. Für den Impuls des Z-Bosons setzen wir die Impulserhaltung ein und erhalten: m_Z^ + vec p_+ + vec p_-^ E_+^ + E_-^ + E_+E_-. Auch hier erhalten wir durch ausmultiplizieren das Folge: m_Z^ + p_+^ + p_-^ + vec p_+ vec p_- E_+^ + E_-^ + E_+E_- wobei darauf zu achten ist dass der Mischterm ein Skalarprodukt ist. Mit der Definition des Skalarprodukts erhalten wir: m_Z^ + p_+^ + p_-^ + p_+p_-cosvarphi_pm E_+^ + E_-^ + E_+E_-. Da wir die Masse des Elektrons und Positrons vernachlässigen können gilt: p_pm apx E_pm und damit erhalten wir: m_Z^ E_-E_+-E_-E_+cosvarphi_pm Rightarrow m_Z sqrtE_-E_+-cosvarphi_pm..cm Nun folgt eine Variante mit dem er-Impuls. Die er-Impuls des Elektrons und Positrons sind: eqnarray* P_- & leftE_-vec p_-right P_+ & leftE_+vec p_+right eqnarray* Das Quadrat der Masse des Z-Boson ist erhalten und entspricht dem Quadrat des Gesamt-er-Impulses d.h. eqnarray* P^ m_Z^ & P_-+P_+^ & P_-^ + P_+^ + P_-P_+ & m_-^ + m_+^ + P_-P_+ eqnarray* Mit m_-^ m_+^ erhalten wir: m_Z^ P_-P_+. Setzen wir den er-Vektor ein erhalten wir eqnarray* m_Z^ & leftE_-vec p_-rightpmatrix E_+ vec p_+ pmatrixmm & E_-E_+-vec p_- vec p_+mm & E_-E_+-|p_-||p_+|cosvarphi_pm eqnarray* Da mit der relativistischen EnergiImpulserhaltung durch Vernachlässigung der Masse: m^ E^ - p^ Rightarrow E p folgt gilt: m_Z^ E_-E_+-E_-E_+cosvarphi_pm Rightarrow m_Z sqrtE_-E_+-cosvarphi_pm.