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Exercise:
fg in mathbbKx mit g neq . Dann gibt es eindeutige Polynome q und r s.d. f q g+r und degr degg. qQuotient rRest

Solution:
Sei fx a_+...+a_nx^n gx b_+...+b_mx^m n degf m degg a_n neq b_m neq . Existenz: Wenn degf degg dann gilt die Aussage für q rf. Wenn degf geq degg. fxfraca_nb_mx^n-mgx+hx wobei degh leq n-. Induktiv in degf annehmen dass die Behauptung für h gilt d.h. es gibt ein q_ r_ mit degr_ degg s.d. hx q_xgx+r_x einsetzen in fx qxgx+rx wobei qx fraca_nb_mx^n-mx^n-m+q_x und rx r_x Eindeutigkeit: f q_g+r_ q_g+r_ mit degr_i degg für i... dann q_-q_g r_-r_ wobei r_-r_ Grad degg. Falls q_-q_ neq dann hat die linke Seite nach Produktformel Grad degq_-q_+degg geq degg. Widerspruch. Also q_-q_ d.h. q_q_ und folglich r_r_.
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fg in mathbbKx mit g neq . Dann gibt es eindeutige Polynome q und r s.d. f q g+r und degr degg. qQuotient rRest

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Sei fx a_+...+a_nx^n gx b_+...+b_mx^m n degf m degg a_n neq b_m neq . Existenz: Wenn degf degg dann gilt die Aussage für q rf. Wenn degf geq degg. fxfraca_nb_mx^n-mgx+hx wobei degh leq n-. Induktiv in degf annehmen dass die Behauptung für h gilt d.h. es gibt ein q_ r_ mit degr_ degg s.d. hx q_xgx+r_x einsetzen in fx qxgx+rx wobei qx fraca_nb_mx^n-mx^n-m+q_x und rx r_x Eindeutigkeit: f q_g+r_ q_g+r_ mit degr_i degg für i... dann q_-q_g r_-r_ wobei r_-r_ Grad degg. Falls q_-q_ neq dann hat die linke Seite nach Produktformel Grad degq_-q_+degg geq degg. Widerspruch. Also q_-q_ d.h. q_q_ und folglich r_r_.
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Tags
analysis, beweis, eth, hs22, polynomdivision, proof
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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