Kriterium für Konstanz
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Exercise:
Sei I subseteq mathbbR ein Intervall mit Endpunkten a b und f:I rightarrow mathbbR eine Funktion. Dann ist f genau dann konstant wenn f differenzierbar ist und f'x für alle x in I gilt.
Solution:
Beweis. Wie zuvor gezeigt muss die Ableitung einer konstanten Funktion die Nullfunktion sein. Also angenommen es gilt f'x für alle x in I. Seien x_ x_ in I. Dann folgt aus dem Mittelwertsatz angewet auf f|_x_x_:x_x_ rightarrow mathbbR dass es ein xi in x_x_ subseteq I gibt mit fx_-fx_ f'xix_-x_. Es gilt aber f'xi und damit fx_fx_. Die Punkte x_x_ in I waren jedoch beliebig also folgt die Aussage.
Sei I subseteq mathbbR ein Intervall mit Endpunkten a b und f:I rightarrow mathbbR eine Funktion. Dann ist f genau dann konstant wenn f differenzierbar ist und f'x für alle x in I gilt.
Solution:
Beweis. Wie zuvor gezeigt muss die Ableitung einer konstanten Funktion die Nullfunktion sein. Also angenommen es gilt f'x für alle x in I. Seien x_ x_ in I. Dann folgt aus dem Mittelwertsatz angewet auf f|_x_x_:x_x_ rightarrow mathbbR dass es ein xi in x_x_ subseteq I gibt mit fx_-fx_ f'xix_-x_. Es gilt aber f'xi und damit fx_fx_. Die Punkte x_x_ in I waren jedoch beliebig also folgt die Aussage.